Задача Тарского по школьной алгебре

Задача Тарского по школьной алгебре спрашивает, есть ли тождество над целыми положительными числами с использованием сложения, умножения и возведения в степень, которое не следует из набора тождеств, преподаваемых в школе.

Формулировка

Верно ли, что из следующих одиннадцати аксиом, которые мы будем называть школьными аксиомами:

$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
$x\cdot 1=x$
$x\cdot y=y\cdot x$
$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
$1^{x}=1$
$x^{1}=x$
$x^{y+z}=x^{y}\cdot x^{z}$
$(x\cdot y)^{z}=x^{z}\cdot y^{z}$
$(x^{y})^{z}=x^{y\cdot z}$

следует любое тождество над целыми положительными числами с использованием сложения, умножения и возведения в степень?

История

Этот список из одиннадцати аксиом был выписан Рихардом Дедекиндом,[1] хотя все эти тождества были известны задолго до этого.

Задача о выводимости всех тождеств была сформулирована Альфредом Тарским. Точная формулировка использует теорию моделей. В 1980-х она стала известна как задача Тарского по школьной алгебре.

В 1980 году Алекс Вилки доказал, что тождество

{\begin{aligned}&\left((1+x)^{y}+(1+x+x^{2})^{y}\right)^{x}\cdot \left((1+x^{3})^{x}+(1+x^{2}+x^{4})^{x}\right)^{y}=\\={}&\left((1+x)^{x}+(1+x+x^{2})^{x}\right)^{y}\cdot \left((1+x^{3})^{y}+(1+x^{2}+x^{4})^{y}\right)^{x}.\end{aligned}}

не выводится из набора школьных аксиом.[2]

Примечания

Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, 8te unveränderte Aufl. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).
A.J. Wilkie, On exponentiation – a solution to Tarski's high school algebra problem, Connections between model theory and algebraic and analytic geometry, Quad. Mat., 6, Dept. Math., Seconda Univ. Napoli, Caserta, (2000), pp.107–129.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Richard Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen?, 8te unveränderte Aufl. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig (1960).

[2] A.J. Wilkie, On exponentiation – a solution to Tarski's high school algebra problem, Connections between model theory and algebraic and analytic geometry, Quad. Mat., 6, Dept. Math., Seconda Univ. Napoli, Caserta, (2000), pp.107–129.