Задача Лебега

Любая фигура диаметра 1 может быть накрыта фигурой постоянной ширины 1 (каждая фигура диаметра 1 — своей фигурой постоянной ширины, то есть фигура постоянной ширины зависит от фигуры диаметра 1). Для фигур постоянной ширины диаметр совпадает с шириной. Поэтому задача Лебега сводится к нахождению плоской фигуры наименьшей площади, которая способна накрыть собой фигуру постоянной ширины 1.

Известно, что фигура Лебега существует, но она, возможно, не единственна. Если ${\displaystyle L}$ её площадь, то известно, что

${\displaystyle 0{,}826\approx {\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}<L<{\tfrac {2}{121}}\cdot {\sqrt {28634\cdot {\sqrt {3}}-15139}}+\arccos {\tfrac {{\sqrt {3}}-1}{2}}-{\tfrac {\pi }{3}}-{\tfrac {109}{121}}-{\tfrac {82}{121\cdot {\sqrt {3}}}}\approx 0{,}845.}$

Нижняя оценка доказана в [1].

Для нахождения оценки сверху достаточно представить плоскую фигуру, способную накрыть любую плоскую фигуру диаметра 1. К таким фигурам относятся (в порядке уменьшения площади):

• Квадрат со стороной 1, его площадь равна 1;
• Правильный шестиугольник ширины 1, его площадь равна ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0{,}866}$;
• Самой маленькой известной на сегодня фигурой с этим свойством является правильный шестиугольник ширины 1, у которого определённым способом срезаны 3 угла. С двух углов срезаны равнобедренные треугольники, основания которых касаются окружности, вписанной в шестиугольник; третий угол срезается по двум окружностям радиуса 1, касающихся сторон на расстоянии, равном стороне такого равнобедренного треугольника.

• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).

• Lebesgue Minimal Problem на Wolfram Mathworld.