Дифференциальное тождество Бьянки

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки (или вторым тождеством Бьянки) в дифференциальной геометрии.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всём многообразии.

В точке мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в этой точке. Тогда для ковариантных производных в точке имеем:

Поскольку

то в точке имеем:

Циклически переставляя в (4) индексы , получим ещё два равенства:

Легко видеть, что при добавлении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения будет выражение (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получим ноль.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.