Групповой завистливый делёж

Рассмотрим множество из n участников. Каждый агент i получает определённое распределение A_i (например, кусок торта или комплект ресурсов). Каждый агент i имеет некоторые субъективные предпочтения <_i относительно кусков/комплектов (то есть, ${\displaystyle A<_{i}B}$ означает, что агент i предпочитает кусок B куску A).

Рассмотрим группу агентов X при текущем распределении ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in X}}$. Мы говорим, что группа X предпочитает кусок B по отношению к текущему распределению, если существует распределение куска B среди участников группы X: ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\in X}}$, такое, что по меньшей мере один агент i считает, что новое распределение лучше по сравнению с текущим распределением (${\displaystyle A_{i}<_{i}B_{i}}$), и никто из оставшихся участников группы не считает, что оно хуже.

Рассмотрим две группы, X и Y, обе с одним и тем же числом — k — участников. Говорим, что группа X завидует группе Y, если группа X предпочитает общий кусок группы Y (${\displaystyle \cup _{i\in Y}{A_{i}}}$) своему куску.

Распределение {A₁, ..., A_n} называется распределением без групповой зависти, если не имеется группы, завидующей другой группе с тем же числом участников.

В распределении с отсутствием групповой зависти отсутствует также зависть в обычном смысле, поскольку группы X и Y могут содержать по одному агенту.

Распределение с отсутствием групповой зависти эффективно также по Парето, поскольку X и Y могут быть всей группой, содержащей n участников.

Условие отсутствия групповой зависти много строже, чем комбинация этих двух критериев, поскольку она применяется также к группам из 2, 3, ..., n-1 участников.

В условиях распределения ресурсов распределение с отсутствием групповой зависти существует. Более того, оно может быть получено как равновесие в условиях конкуренции с одинаковыми начальными фондами[3][4][2].

В условиях справедливого разрезания торта разрезание с отсутствием групповой зависти существует, если отношения предпочтения представлены положительными непрерывными мерами. То есть, каждый участник i имеет определённую функцию V_i, представляющую ценность каждого куска торта, и такие функции аддитивны и не атомарны[1].

Более того, распределение при групповом завистливом дележе существует, если предпочтения представлены конечными векторными мерами. То есть, каждый агент i имеет некоторую векторную функцию V_i, представляющую значения различных свойств каждого куска торта, и все компоненты в такой векторной функции аддитивны и не атомарны, а кроме того, отношения предпочтения непрерывны, монотонны и выпуклы[5].