Граф Пэли

Пусть q — степень простого числа, такая, что q = 1 (mod 4). Заметим, что отсюда вытекает существование квадратного корня из −1 в единственном конечном поле F_q , имеющем порядок q.

Пусть также V = F_q и

${\displaystyle E=\left\{(a,b)\in \mathbf {F} _{q}\times \mathbf {F} _{q}\$ :\ a-b\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}} .

Это множество корректно определено, поскольку a − b = −(b − a), и −1 является квадратом некоего числа, откуда следует, что a − b является квадратом тогда и только тогда, когда b − a является квадратом.

По определению G = (V, E) — граф Пэли порядка q.

Для q = 13 поле F_q образуется числами по модулю 13. Числа, имеющие квадратные корни по модулю 13:

• ±1 (квадратные корни ±1 для +1, ±5 для −1)
• ±3 (квадратные корни ±4 для +3, ±6 для −3)
• ±4 (квадратные корни ±2 для +4, ±3 для −4).

Таким образом, граф Пэли образуется вершинами, соответствующими числам из интервала [0,12], и каждая вершина x соединена с шестью соседями: x ± 1 (mod 13), x ± 3 (mod 13), и x ± 4 (mod 13).

• Графы Пэли являются самодополнительным — дополнение любого графа Пэли изоморфно самому графу.[4]
• Эти графы сильно регулярны с параметрами

${\displaystyle srg\left(q,{\tfrac {1}{2}}(q-1),{\tfrac {1}{4}}(q-5),{\tfrac {1}{4}}(q-1)\right).}$

Вдобавок графы Пэли, фактически, образуют бесконечное семейство конференсных графов.

• Собственные значения графов Пэли — это числа ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(q-1)}$ (с кратностью 1) и ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(-1\pm {\sqrt {q}})}$ (оба с кратностью ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(q-1)}$) и могут быть вычислены с помощью квадратичных сумм Гаусса.

• Если q — простое, границами изопериметрического числа i(G) будут:

${\displaystyle {\frac {q-{\sqrt {q}}}{4}}\leq i(G)\leq {\sqrt {\left(q+{\sqrt {q}}\right)\left({\frac {q-{\sqrt {q}}}{2}}\right)}}}$

Отсюда следует, что i(G)~O(q), и граф Пэли является экспандером.

• Если q — простое, его граф Пэли является гамильтоновым циклом циркулянтного графа.

• Графы Пэли квазислучайны (Чанг и др., 1989)[5] — число случаев, когда граф постоянного порядка окажется подграфом графа Пэли, равен (в пределе для больших q) тем же, что и для случайных графов, а при больших множествах вершин имеет примерно то же самое число рёбер, что и у случайных графов.

• Граф Пэли 17-го порядка является единственным наибольшим графом G, таким, что ни он сам, ни его дополнение не содержат полный подграф с 4 вершинами (Эванс и др., 1981).[6] Из этого следует, что число Рамсея R(4, 4) = 18.

• Граф Пэли 101-го порядка пока единственный известный максимальный граф G, такой, что ни G, ни его дополнение не содержат полного подграфа с 6 вершинами.

• Сасакура[7] использовал графы Пэли для обобщения построения пучка Хоррокса-Мамфорда.

Пусть q — степень простого числа, такая, что q = 3 (mod 4). Тогда конечное поле F_q порядка q не имеет квадратного корня из −1. Следовательно, для любой пары (a,b) различных элементов F_q либо a − b, либо b − a, но не оба, являются квадратами. Орграф Пэли — это ориентированный граф с множеством вершин V = F_q и множеством дуг

${\displaystyle A=\left\{(a,b)\in \mathbf {F} _{q}\times \mathbf {F} _{q}\$ :\ b-a\in (\mathbf {F} _{q}^{\times })^{2}\right\}.}

Орграф Пэли является турниром, поскольку каждая пара различных вершин связана дугой в одном и только в одном направлении.

Орграф Пэли ведёт к построению некоторых антисимметричных конференсных матриц и двухплоскостной геометрии.

Шесть соседей каждой вершины в графе Пэли 13-го порядка соединены в цикл, так что граф локально цикличен. Таким образом, этот граф может быть вложен в триангуляцию Уитни тора, в которой каждая грань является треугольником и каждый треугольник является гранью. В более общем случае, если какой-либо граф Пэли порядка q может быть вложен таким образом, что все его грани являются треугольниками, мы можем вычислить род результирующей поверхности с помощью эйлеровой характеристики ${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}(q^{2}-13q+24)}$. Мохар (Bojan Mohar, 2005) высказал гипотезу, что минимальный род поверхности, в которую может быть вложен граф Пэли, где-то около этого значения в случае, если q является квадратом, и поставил вопрос, можно ли обобщить такие границы. В частности, Мохар предположил, что графы Пэли квадратного порядка могут быть вложены в поверхности рода

${\displaystyle (q^{2}-13q+24)\left({\tfrac {1}{24}}+o(1)\right),}$

где член o(1) может быть любой функцией от q, стремящейся к нулю при стремлении q к бесконечности.

Уайт (White, 2001) [8] нашёл вложение графов Пэли порядка q ≡ 1 (mod 8), обобщая естественное вложение графа Пэли 9-го порядка как квадратной решётки на тор. Однако род вложения Уитни выше примерно в три раза границы, которую Мохар высказал в своей гипотезе.

• Baker, R. D.; Ebert, G. L.; Hemmeter, J.; Woldar, A. J. Maximal cliques in the Paley graphs of square order // J. Statist. Plann. Inference. — 1996. — Т. 56. — С. 33–38. — doi:10.1016/S0378-3758(96)00006-7.
• Broere, I.; Döman, D.; Ridley, J. N. The clique numbers and chromatic numbers of certain Paley graphs // Quaestiones Mathematicae. — 1988. — Т. 11. — С. 91–93. — doi:10.1080/16073606.1988.9631945.

• Brouwer, Andries E. Paley graps (неопр.) (недоступная ссылка — история ). (недоступная ссылка)
• Mohar, Bojan. PaleyGenus.html Genus of Paley graps (неопр.) (2005). (недоступная ссылка)