Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)

Гипо́теза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что любое выпуклое тело в $n$ -мерном евклидовом пространстве можно покрыть $2^{n}$ -меньшими гомотетичными покрываемому телу телами[1], и что параллелипипеды являются единственными телами, которые можно покрыть лишь $2^{n}$ -меньшими гомотетичными покрываемому телу телами. Справедливость этой гипотезы неизвестна для $n\geqslant 3$ .

История

Гипотеза была выдвинута Гуго Хадвигером в 1957 г.[2] А.Ю. Левин и Ю.И. Петунин доказали, что для всякого $n$ -мерного центрально-симметричного выпуклого тела справедливо неравенство $N\leqslant (n+1)^{n}$ .[3] В 1963 г. Роджерс получил для центрально-симметричных тел оценку $N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$ [4]

Формулировка в терминах задачи освещения

Можно показать, что наименьшее число гомотетичных исходному тел, необходимых для покрытия $n$ -мерного выпуклого тела, равно наименьшему числу направлений, достаточных для полного освещения этого тела.[5]

Примечания

Болтянский, 1965, с. 47.
Hadwiger H. Ungelöste Probleme, № 20, Elem. der Math., 12 (1957), 121
Болтянский, 1965, с. 48.
Болтянский, 1965, с. 49.
Болтянский, 1965, с. 57.

Литература

В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 107 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_fb51d1a365be8c4c-1] Болтянский, 1965, с. 47.

[2] Hadwiger H. Ungelöste Probleme, № 20, Elem. der Math., 12 (1957), 121

[_fb51d1a365be8c43-3] Болтянский, 1965, с. 48.

[_fb51d1a365be8c42-4] Болтянский, 1965, с. 49.

[_fb51d0a365be8aff-5] Болтянский, 1965, с. 57.