Гипотеза Фейта – Томпсона

Гипотеза Фейта – Томпсона — это гипотеза в теории чисел, предложенная Фейтом и Томпсоном[1]. Гипотеза утверждает, что нет различных простых чисел p и q таких, что

${\displaystyle {\frac {p^{q}-1}{p-1}}}$ делит ${\displaystyle {\frac {q^{p}-1}{q-1}}}$.

Если гипотеза верна, она существенно упрощает последнюю главу доказательства Фейта и Томпсона[2] теоремы Томпсона–Фейта, что любая конечная группа нечётного порядка разрешима. Более строгую гипотезу, что эти два числа всегда взаимно просты, опровёрг Стивенс[3] с контрпримером p = 17 и q = 3313 с общим делителем 2pq + 1 = 112643.

Известно, что гипотеза верна для q = 3 (Le 2012).

Неформально, вероятностные аргументы дают возможность предположить, что «ожидаемое» число контрпримеров гипотезе Фейта — Томпсона очень близко к 0, из чего можно заключить, что гипотеза Фейта — Томпсона, скорее всего, верна.