Гипотеза Сельберга о дзета-функции

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул[1] гипотезу, что при фиксированном ${\displaystyle \varepsilon }$ с условием ${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$, достаточно большом ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$, ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$, промежуток ${\displaystyle (T,T+H)}$ содержит не менее ${\displaystyle cH\ln T}$ вещественных нулей дзета-функции Римана ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$. Сельберг доказал справедливость утверждения для случая ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$.

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга[2][3][4].

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при ${\displaystyle T\to +\infty }$.

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал[5], что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков ${\displaystyle (T,T+H]}$, ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках ${\displaystyle (T,T+H]}$, длина ${\displaystyle H}$ которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени ${\displaystyle T}$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ${\displaystyle \varepsilon }$, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ с условием ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ почти все промежутки ${\displaystyle (T,T+H]}$ при ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ содержат не менее ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ нулей функции ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$. Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.