Гипотеза Била

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа ${\displaystyle n>2}$ и ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ такие, что ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$. Тогда гипотеза Била для ${\displaystyle x=y=z=n}$ влечёт существование простого числа ${\displaystyle p}$, делящего каждое из чисел ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$. Но тогда ${\displaystyle (A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}}$, а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$, можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья ${\displaystyle n}$-я степень является суммой ${\displaystyle n}$-х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

• The Beal Conjecture
• The Beal Conjecture and Prize
• R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS : journal. — 1997. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [3189 дней])
• Beal@Home — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.