Виноградов, Александр Михайлович

А. М. Виноградов родился 18 февраля 1938 года в Новороссийске. Отец, Михаил Иванович Виноградов (1908—1995) — учёный-гидравлик, мать, Ильза Александровна Фирер (1912—1990) — врач-терапевт. Прадедом А. М. Виноградова был Антон Зиновьевич Смагин (1859—1932?), крестьянин-самоучка, сельский просветитель и депутат Государственной думы Российской империи II созыва.

В 1955 А. М. Виноградов поступил на мехмат МГУ, окончил его в 1960 и в 1964 защитил кандидатскую диссертацию по алгебраической топологии. В 1965 году начал работать на кафедре Высшей геометрии и топологии мехмата, где работал до своего отъезда в Италию в 1990. Докторскую диссертацию защитил в 1984 в Институте математики Сибирского отделения АН СССР в Новосибирске. С 1993 по 2010 — профессор университета в г. Салерно (Италия).

Свои первые работы А. М. Виноградов опубликовал ещё будучи студентом второго курса мехмата. Они относились к теории чисел и были выполнены совместно с Б. Н. Делоне и Д. Б. Фуксом. На старших курсах стал заниматься алгебраической топологией. Одной из первых его работ по этой тематике была статья [1], посвященная спектральной последовательности Адамса — вершине алгебраической топологии того времени и получившая благожелательный отзыв самого Дж. Ф. Адамса. Кандидатская диссертация А. М. Виноградова, выполненная под формальным руководством В. Г. Болтянского, посвящена гомотопическим свойствам пространства вложений окружности в сферу или шар.

В конце 1960-х годов под влиянием идей Софуса Ли он начал систематическое исследование оснований геометрической теории дифференциальных уравнений в частных производных. После знакомства с работами Д. Спенсера, Г. Гольдсмидта и Д. Квиллена А. М. Виноградов занялся изучением алгебраических, в частности, когомологических аспектов этой теории. Опубликованная в 1972 году короткая заметка в Докладах АН СССР (публикация длинных текстов в это время была совсем не простой). «Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов» [2] содержала построение, как он сам это назвал, основных функторов дифференциального исчисления над произвольными коммутативными алгебрами.

Общая теория нелинейных дифференциальных уравнений, основанная на подходе к ним как к геометрическим объектам, вместе с примерами и приложениями подробно изложена в монографиях [3], [4] и [27], а также в статьях [6], [7]. Этот подход А. М. Виноградова объединяет бесконечно продолженные уравнения в категорию [8], объекты которой назывются диффеотопами (англ. diffiety — differential variety), а аппарат их изучения — вторичным дифференциальным исчислением (по аналогии с вторичным квантованием, англ. secondary calculus).

Одно из центральных мест в этой теории занимает ${\displaystyle {\cal {C}}}$-спектральная последовательность (спектральная последовательность Виноградова), анонсированная в [9] и позднее подробно описана в [10]. Первый член этой спектральной последовательности дает единый когомологический подход ко многим ранее разрозненным понятиям и утверждениям, включая лагранжев формализм со связями, законы сохранения, косимметрии, теорему Нётер и критерий Гельмгольца в обратной задаче вариационного исчисления (для произвольных нелинейных дифференциальных операторов), позволяя пойти значительно дальше этих классических утверждений. Частным случаем ${\displaystyle {\cal {C}}}$-спектральной последовательности (для «пустого» уравнения, то есть пространства бесконечных джетов) является так называемый вариационный бикомплекс. В рамках этого подхода в статье [11] Виноградов ввел конструкцию новой скобки на градуированной алгебре линейных преобразований коцепного комплекса. Скобка Виноградова, названная им ${\displaystyle L}$-коммутатором, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби с точностью до кограницы. Эта конструкция Виноградова предвосхитила общее понятие производной скобки на дифференциальной алгебре Лодэ (или алгебре Лейбница), введенной И. Косманн-Шварцбах в работе [12]. В его совместной работе с А. Кабрас [13] результаты [11] были применены к пуассоновой геометрии. Вместе с соавторами Виноградов занимался анализом и сравнением различных обобщений (супер) алгебр Ли, включая сильно-гомотопические алгебры Ли (или ${\displaystyle L_{\infty }}$-алгебры) Лады и Сташефа и алгебры Филиппова (см. [14] — [16]). Структурному анализу алгебр Ли посвящены статьи [19], [20], в которых развивается теория совместности структур алгебр Ли и показывается, что любая конечномерная алгебра Ли над алгебраическ замкнутым полем или над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может быть за несколько шагов собрана из двух простейших, назваемых дионом и традоном.

Научные интересы Александра Михайловича в высшей степени были мотивированы сложными и важными проблемами современной физики — от структуры гамильтоновой механики [21], [22] и динамики звуковых пучков [17] до уравнений магнитогидродинамики (так называемых уравнений Кадомцева-Погуце, используемых в теории устойчивости высокотемпературной плазмы в токамаках) [18] и математических вопросов общей теории относительности [23] — [25]. Математическому осмыслению фундаментального физического понятия наблюдаемой уделено много внимания в книге [5], написанной А. М. Виноградовым в соавторстве с участниками его семинара и вышедшей под псевдонимом Джет Неструев.

Печатное наследие А. М. Виноградова составляют десять монографий и более сотни статей. Полный список см. на сайте Геометрия дифференциальных уравнений.

А. М. Виноградов во время лекции.

А. М. Виноградов воспитал плеяду учеников (в России, Италии, Швейцарии, Польше), 19 из них защитили кандидатские диссертации, 6 стали докторами наук и один — членом-корреспондентом РАН.

В 1968—1990 годах он вёл общемосковский научно-исследовательский семинар на мехмате МГУ, состоявший из двух частей, математической и физической, ставший заметным явлением московской математической жизни. По его инициативе и под его руководством в Италии, России и Польше проходили международные Диффеотопические школы (Diffiety Schools) для студентов. В 1978 г. он был одним из организаторов и первых лекторов так называемого Народного университета, где велись занятия для ребят, которых не приняли на мехмат из-за их еврейского происхождения.

Александр Михайлович был инициатором и организатором представительной московской конференции «Вторичное дифференциальное исчисление и когомологическая физика» (Secondary Calculus and Cohomological Physics, 1997), труды которой были опубликованы в [26] и серии камерных конференций «Современная геометрия» (Current Geometry), проводившихся в Италии с 2000 по 2010 г. Он был одним из инициаторов и активным участником создания Международного института математической физики им. Э. Шрёдингера в Вене (ESI), а также журнала Differential Geometry and its Applications. В 1985 г. А. М. Виноградов создал лабораторию в Институте программных систем в Переславле-Залесском, в которой исследовались различные аспекты геометрии дифференциальных уравнений, и несколько лет был её научным руководителем.

• Александр Михайлович Виноградов // УМН. — 2020. — Т. 75, вып. 2(452). — С. 185–190.
• Страница на сайте Геометрия дифференциальных уравнений
• Александр Михайлович Виноградов. Страница в информационной системе Math-Net.Ru.
• «Александр Михайлович был самый неконформистский неконформист». Воспоминания И. С. Красильщика в журнале «Arzamas».
• Воспоминания коллег и учеников в книге А. М. Виноградов, Избранные труды, т. 1, Москва: Издательство МЦНМО, стр. 291-404, 2021.