Вейвлеты Добеши

Для построения вейвлетов воспользуемся уравнением растяжения и вейвлет-уравнением:

${\displaystyle \varphi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}h_{k}\varphi (2t-k),}$

${\displaystyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{k}g_{k}\varphi (2t-k).}$

Компактность носителя функций ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ может быть достигнута, если будет выбрано конечное число ${\displaystyle h_{n}\neq 0}$ таким образом, чтобы была достигнута ортогональность и гладкость вейвлета, либо чтобы выполнялось условие моментов. Для области Фурье условие ортогональности и гладкости выглядит следующим образом:

${\displaystyle |m_{0}(\omega )|^{2}+|m_{0}(\omega +\pi )|^{2}=1,}$

где ${\displaystyle |m_{0}(\omega )|=\sum _{n}{\frac {h_{n}e^{-in\omega }}{\sqrt {2}}}}$ — тригонометрический полином, при условии моментов

${\displaystyle \left.{\frac {d^{l}\psi {\omega }}{d\omega ^{l}}}\right|_{\omega =0}=0}$

для ${\displaystyle l=0,\ 1,\ \ldots ,\ N-1}$ принимающий вид

${\displaystyle m_{0}(\omega )\propto \left({\frac {1+e^{i\omega }}{2}}\right)^{N}.}$

Если положить, что ${\displaystyle M_{0}(\omega )=|m_{0}(\omega )|^{2}}$ — полином по ${\displaystyle \cos \omega }$, то условие нулевых моментов даёт ${\displaystyle M_{0}(\omega )=\cos ^{2N}{\tfrac {\omega }{2}}\cdot L(\omega )}$, где ${\displaystyle L(\omega )=P\sin ^{2}{\tfrac {\omega }{2}}}$ — полином по ${\displaystyle \cos \omega }$.

Для поиска коэффициентов ${\displaystyle h_{n}}$ необходимо получить ${\displaystyle m_{0}}$, выделив форму полинома ${\displaystyle P}$. Из условия ортогональности и условия нулевых моментов следует, что

${\displaystyle P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y)).}$

Разложив ${\displaystyle (1-y)^{-N}}$ до порядка ${\displaystyle N-1}$, получим явный вид полинома:

${\displaystyle P(y)=(1-y)^{-N}(1-y^{N}P(1-y))=\sum _{k=0}^{N-1}{\binom {N+k-1}{k}}y^{k}.}$

Путём спектрального разложения на множители можно извлечь корни ${\displaystyle m_{0}}$ из ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle m_{0}(\omega )=\mathrm {const} \left({\frac {z+1}{2}}\right)^{N}\prod _{j=1}^{N-1}(z-z_{j}).}$

Искомые коэффициенты вейвлета ${\displaystyle h_{j}/{\sqrt {2}}}$ будут являться коэффициентами при ${\displaystyle z^{j}}$ в обратном порядке.

Также для построения вейвлетов данного типа используется каскадный алгоритм. Он позволяет поточечно строить масштабирующую функцию ${\displaystyle \varphi }$ по известным коэффициентам ${\displaystyle h_{n}}$. На каждом шаге алгоритма функция ${\displaystyle \varphi }$ уточняется по оси ${\displaystyle t}$ в 2 раза. Далее при необходимости применяется сглаживание ${\displaystyle \varphi }$. После этого, зная ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle h_{n}}$, находится функция самого вейвлета ${\displaystyle \psi }$.

• Вейвлет Койфлет

• Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
• Основы теории вейвлетов с пакетом Mathematica Wavelet Explorer (недоступная ссылка)
• Всплески Ингрид Добеши