Веер Кнастера — Куратовского

Рассмотрим прямоугольник

${\displaystyle S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]}$

Построим на его нижнем ребре канторово множество ${\displaystyle C}$ и обозначим через ${\displaystyle A}$ множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через ${\displaystyle B}$ все остальные точки из ${\displaystyle C}$. Пусть ${\displaystyle L_{c}}$ это отрезок прямой, соединяющий точку ${\displaystyle c\in C}$ с точкой ${\displaystyle s=\left({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}\right).}$

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество ${\displaystyle X=Q\cup I}$, где

${\displaystyle Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \}}$

${\displaystyle I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.}$

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ такие, что ${\displaystyle X=Y\cup Z}$ и при этом ${\displaystyle {\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset }$. Для определённости будем считать, что ${\displaystyle s\in Y}$. Обозначим за ${\displaystyle u_{c}}$ точку из ${\displaystyle L_{c}}$, с ${\displaystyle y}$-координатой равной точной верхней грани ${\displaystyle y}$-координат всех точек, входящих в ${\displaystyle Z\cap L_{c}}$. Если же ${\displaystyle Z\cap L_{c}}$ пусто, будем считать, что ${\displaystyle u_{c}=c}$. Очевидно, что ${\displaystyle u_{c}}$ не может принадлежать ${\displaystyle X\setminus C}$, так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для ${\displaystyle Y}$ так и для ${\displaystyle Z}$, что противоречит предположению несвязности. То есть, ${\displaystyle \forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X}$ или ${\displaystyle u_{c}\notin X}$.

Пусть ${\displaystyle \{r_{i}\}}$ — все рациональные числа отрезка ${\displaystyle [0;1]}$, обозначим:

${\displaystyle P_{i}=\{c\in B:\exists u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{c\in B:\;c=u_{c}\}}$

Тогда ${\displaystyle B=T\cup P}$, то есть ${\displaystyle C=A\cup T\cup P}$. Заметим, что ${\displaystyle P_{i}}$ нигде не плотны в ${\displaystyle C}$, иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с ${\displaystyle C}$ лежало бы в ${\displaystyle P_{i}}$, но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из ${\displaystyle A}$ в то время как ${\displaystyle P_{i}\subset B=C\setminus A}$.

Множество ${\displaystyle C}$ является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество ${\displaystyle C}$ также второй категории. Но ${\displaystyle P\cup A}$ первой категории (${\displaystyle A}$ счётно, а ${\displaystyle P}$ является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве ${\displaystyle C}$ обязаны лежать точки из ${\displaystyle T}$; то есть ${\displaystyle T}$ плотно в ${\displaystyle C}$.

Теперь допустим, что ${\displaystyle z\in Z}$. В силу плотности ${\displaystyle T}$ в ${\displaystyle C}$, любое открытое множество, содержащее ${\displaystyle z}$, содержит также и некоторый сегмент отрезка ${\displaystyle L_{t}}$ для какого-то ${\displaystyle t\in T}$. По определению множества ${\displaystyle T}$ имеем ${\displaystyle (X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y}$, это значит, что ${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$. Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества ${\displaystyle X}$ ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки ${\displaystyle s}$ делает ${\displaystyle X}$ вполне несвязным. Предположим, что ${\displaystyle V\subset X\setminus \{s\}}$ связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента ${\displaystyle L_{c}}$ (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество ${\displaystyle L_{c}\cap (X\setminus \{s\})}$ вполне несвязно, значит, и ${\displaystyle V}$ вполне несвязно.

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.
• Steen, Seebach. Counterexamples in Topology