Артинов модуль

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль ${\displaystyle M}$ артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

${\displaystyle M_{1}\supset M_{2}\supset \ldots \supset M_{i}\supset \ldots }$

стабилизируется, то есть начиная с некоторого ${\displaystyle n}$ выполнено:

${\displaystyle M_{n}=M_{n+1}=\ldots }$.

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей ${\displaystyle M}$ существует минимальный элемент.

Если ${\displaystyle M}$ — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль ${\displaystyle N\subset M}$ и фактормодуль ${\displaystyle M/N}$ артиновы, то и сам модуль ${\displaystyle M}$ артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо ${\displaystyle A}$ с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым ${\displaystyle A}$-модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).