Альтернативность

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции ${\displaystyle \circ }$, являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов ${\displaystyle x,\;y}$

• ${\displaystyle \ (x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y)}$ — правая альтернативность,
• ${\displaystyle \ y\circ (y\circ x)=(y\circ y)\circ x}$ — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов ${\displaystyle e_{\star },e_{1},e_{2}\dots }$ с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• ${\displaystyle e_{i}\circ e_{j}=e_{i+j}}$ кроме ${\displaystyle e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }}$,
• ${\displaystyle e_{\star }\circ e_{i}=e_{i}\circ e_{\star }=e_{i+6}}$,
• ${\displaystyle e_{\star }\circ e_{\star }=e_{12}}$

степенная ассоциативность не выполняется:

${\displaystyle ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})\circ ((e_{1}\circ e_{1})\circ e_{1})=e_{3}\circ e_{3}=e_{\star }\neq e_{6}=e_{1}^{6}}$.