Lights Out (игра)

Как только игра начинается, на поле случайным образом несколько элементов переходят в состояние «включено». Нажатие на любую клетку поля изменит состояние этой и четырёх соседних клеток. Цель игры — перевести всё поле в состояние «выключено».[1]

• Curly Molly Lights out game — оригинальная реализация игры для iOS устройств.
• Lights OFF — современная реализация для Android устройств.

Каждая конфигурация поля может быть записана как матрица L размера 5x5, содержащая нули и единицы. Ход в клетку (i, j) соответствует прибавлению к матрице L матрицы A_ij по модулю 2, в которой элемент (i, j) и соседние к нему равны единице, а все остальные равны нулю. Например:

${\displaystyle \mathbf {A} _{34}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Поскольку сложение матриц коммутативно, то решение не зависит от порядка ходов. Результат каждой последовательности нажатий может быть записан в виде:

${\displaystyle L+\sum _{i,j}x_{ij}A_{ij}=0}$, где 0 — нулевая матрица, а x_{i, j} — количество ходов в клетку (i, j).

Поскольку все операции выполняются по модулю 2, решение может быть переписано в виде

${\displaystyle \sum _{i,j}x_{ij}A_{ij}=L}$

Поскольку x_{i, j} может быть равен нулю или единице, то решение может быть переписано в виде системы n² линейных уравнений, где n — размерность матрицы L. Эта система для случая 3x3 имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&0&1&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&1&0&0\\0&1&0&1&1&1&0&1&0\\0&0&1&0&1&1&0&0&1\\0&0&0&1&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1&0&1&1&1\\0&0&0&0&0&1&0&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{11}\\x_{12}\\x_{13}\\x_{21}\\x_{22}\\x_{23}\\x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{11}\\L_{12}\\L_{13}\\L_{21}\\L_{22}\\L_{23}\\L_{31}\\L_{32}\\L_{33}\end{pmatrix}}.}$

Если x_ij = 1, то делается ход в клетку (i, j), в противном случае такого хода не делается. Случаи иных размерностей рассматриваются аналогично.[3]

• Теория групп

• Онлайн версия головоломки Lights Out