Empirical Mode Decomposition

Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.

У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локального минимума, и верхнюю огибающую, построенную по точкам локального максимума.

В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.

В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.

Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (англ. intrinsic mode functions, IMF) — эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:

1. Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.
2. Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, должно быть равно нулю.

Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.

Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием (англ. sifting).

В общем виде, алгоритм метода выглядит следующим образом.

Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.

Строятся две огибающие сигнала: нижняя ${\displaystyle \nu }$ и верхняя ${\displaystyle \mu }$. При этом можно использовать сплайн (например, кубический).

Вычисляются среднее значение ${\displaystyle m_{1}}$ и разность ${\displaystyle h_{1}}$ между сигналом и его средним значением:

${\displaystyle X(t)-m_{1}=h_{1}}$.

Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученная разность и будет эмпирической модой.

В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности ${\displaystyle h_{1}}$ (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание):

${\displaystyle h_{1}-m_{11}=h_{11}}$.

В результате выполнения последовательности итераций вида

${\displaystyle h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}}$

необходимо получить функцию

${\displaystyle c_{1}=h_{1k},}$

которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая ${\displaystyle c_{1}}$, выделена, итерации прекращаются.

Вычисляется остаток ${\displaystyle r_{1}=x-c_{1}}$, и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции ${\displaystyle r_{1}}$.

Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.

При просеивании последовательно вычисляются функции ${\displaystyle h_{k}}$, поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.

Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа ${\displaystyle k}$ величину

${\displaystyle {SD}_{k}=\sum \limits _{t=0}^{T}{\frac {|h_{k-1}(t)-h_{k}(t)|^{2}}{h_{k-1}^{2}(t)}}.}$

Итерации прекращаются как только число ${\displaystyle {SD}_{k}}$ станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.

Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля ${\displaystyle Z_{k}}$ и количества экстремумов ${\displaystyle E_{k}}$: процесс просеивания обрывается, если ${\displaystyle Z_{k}=E_{k}}$ или ${\displaystyle |Z_{k}-E_{k}|=1}$ имеет место на протяжении ${\displaystyle S}$ итераций. Число ${\displaystyle S}$ выбирается заранее.