ARIMA

ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average, иногда модель Бокса — Дженкинса, методология Бокса — Дженкинса) — интегрированная модель авторегрессии — скользящего среднего — модель и методология анализа временных рядов. Является расширением моделей ARMA для нестационарных временных рядов, которые можно сделать стационарными взятием разностей некоторого порядка от исходного временного ряда (так называемые интегрированные или разностно-стационарные временные ряды). Модель означает, что разности временного ряда порядка подчиняются модели .

Формальное определение модели

Модель для нестационарного временного ряда имеет вид:

где  — стационарный временной ряд;

 — параметры модели.
 — оператор разности временного ряда порядка d (последовательное взятие d раз разностей первого порядка — сначала от временного ряда, затем от полученных разностей первого порядка, затем от второго порядка и т. д.)

Также данная модель интерпретируется как - модель с единичными корнями. При имеем обычные -модели.

Операторное представление

С помощью лагового оператора данные модели можно записать следующим образом:

,

или сокращённо:

.

где

Пример

Простейшим примером ARIMA-модели является известная модель случайного блуждания:

Следовательно это модель .

Интегрированные временные ряды

ARIMA-модели позволяют моделировать интегрированные или разностно-стационарные временные ряды (DS-ряды, diference stationary).

Временной ряд называется интегрированным порядка (обычно пишут ), если разности ряда порядка , то есть являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются стационарными относительно некоторого тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). В частности  — это стационарный процесс.

Порядок интегрированности временного ряда и есть порядок модели .

Методология ARIMA (Бокса — Дженкинса)

Подход ARIMA к временным рядам заключается в том, что в первую очередь оценивается стационарность ряда. Различными тестами выявляются наличие единичных корней и порядок интегрированности временного ряда (обычно ограничиваются первым или вторым порядком). Далее при необходимости (если порядок интегрированности больше нуля) ряд преобразуется взятием разности соответствующего порядка и уже для преобразованной модели строится некоторая ARMA-модель, поскольку предполагается, что полученный процесс является стационарным, в отличие от исходного нестационарного процесса (разностно-стационарного или интегрированного процесса порядка ).

Модели ARFIMA

Теоретически порядок интегрированности временного ряда может быть не целой величиной, а дробной. В этом случае говорят о дробно-интегрированных моделях авторегрессии — скользящего среднего (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Для понимания сущности дробного интегрирования необходимо рассмотреть разложение оператора взятия -ой разности в степенной ряд по степеням лагового оператора для дробных (разложение в ряд Тейлора):

.

Литература

  • Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. М.: Юнити-Дана, 2001. — 432 с. — ISBN 5-238-00305-6.
  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
  • Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. М.: Финансы и статистика, 2006. — 576 с. — ISBN 5-279-02786-3.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.