Энтропия динамической системы

Пусть задано непрерывное отображение ${\displaystyle T}$ метрического компакта ${\displaystyle (X,d)}$ в себя. Тогда, метрика ${\displaystyle d_{n}}$ на ${\displaystyle X}$ определяется как

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max _{0\leq j\leq n}d(T^{j}(x),T^{j}(y)),}$

иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ расходятся за ${\displaystyle n}$ итераций. Далее, для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ говорят, что множество — ${\displaystyle (n,\varepsilon )}$-отделённое, если попарные ${\displaystyle d_{n}}$-расстояния между его точками не меньше ${\displaystyle \varepsilon }$, и мощность наибольшего такого множества обозначается через ${\displaystyle N(n,\varepsilon )}$. Тогда, топологической энтропией отображения ${\displaystyle T}$ называется двойной предел

${\displaystyle h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\varepsilon ).}$

Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через ${\displaystyle M(n,\varepsilon )}$ мощность наименьшей ${\displaystyle \varepsilon }$-сети, то

${\displaystyle h(T)=\lim _{\varepsilon \to 0}\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log M(n,\varepsilon ).}$

Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств ${\displaystyle N(n,\varepsilon )\leq M(n,\varepsilon )\leq N(n,\varepsilon /2).}$ Стоит отметить, что и то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.

Пусть${\displaystyle (X,T,\mu )}$ — сохраняющая меру измеримая динамическая система. По определению, энтропией разбиения ${\displaystyle X=\bigcup _{j=1}^{n}\xi _{j}}$ называется число

${\displaystyle H(\xi ):=\sum _{j=1}^{n}-\mu (\xi _{j})\log \mu (\xi _{j}),}$

определяющее информационную энтропию определения элемента разбиения, содержащего ${\displaystyle \mu }$-случайную точку.

Итерационные измельчения разбиения ${\displaystyle \xi }$,

${\displaystyle \xi ^{(k)}=\left\{\xi _{i_{1}}\cap T^{-1}(\xi _{i_{2}})\cap \dots \cap T^{-k+1}(\xi _{i_{k}})\mid 1\leq i_{1},\dots ,i_{k}\leq n\right\}}$

определяют, в каких элементах ${\displaystyle \xi }$ оказывается точка на протяжении ${\displaystyle k}$ итераций, а, соответственно, величина

${\displaystyle h_{\mu }(T,\xi )=\lim {\frac {1}{k}}H(\xi ^{(k)})}$

выражает информационную энтропию такого процесса. Наконец, метрическая энтропия отображения ${\displaystyle T}$ по мере ${\displaystyle \mu }$ определяется как точная верхняя грань ${\displaystyle h_{\mu }(\xi )}$ по всевозможным разбиениям ${\displaystyle \xi }$:

${\displaystyle h_{\mu }(T):=\sup _{\xi }h_{\mu }(T,\xi ).}$

• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.