Цепная гомотопия

Пусть ${\displaystyle C}$ — цепной комплекс модулей (то есть семейство модулей ${\displaystyle C_{n}}$ и модульных гомоморфизмов ${\displaystyle d_{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}}$), ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — цепные отображения комплекса ${\displaystyle C}$ в комплекс ${\displaystyle C'}$ (то есть такие гомоморфизмы ${\displaystyle f_{n}}$ что ${\displaystyle d_{n}f_{n}=f_{n-1}d_{n}}$).

Цепной гомотопией между отображениями ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ называется такое семейство гомоморфизмов ${\displaystyle s_{n}\colon C_{n}\to C'_{n+1}}$, что

${\displaystyle s_{n-1}d_{n}+d'_{n+1}s_{n}=f_{n}-g_{n}.}$

Диаграмма для цепной гомотопии

• Если отображения ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n}(C')}$ равны (где ${\displaystyle H_{n}(C)=\mathrm {Ker} \,d_{n}/\mathrm {Im} \,d_{n+1}}$). В самом деле, пусть ${\displaystyle c\in C_{n}}$ — цикл, то есть элемент из ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,d_{n}}$. Тогда ${\displaystyle d_{n}(c)=0}$. Так как ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ цепно гомотопны, то

  ${\displaystyle f_{n}(c)-g_{n}(c)=s_{n-1}d_{n}(c)+d'_{n+1}s_{n}(c)=d'_{n+1}s_{n}(c)}$,

то есть отличаются на границу (элемент ${\displaystyle \mathrm {Im} \,d'_{n+1}}$).

• Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов ${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$ и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий ${\displaystyle H(X)\to H(Y)}$ (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — М.: Наука, 1989
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971