Цепная гомотопия

Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре

Определение

Пусть  — цепной комплекс модулей (то есть семейство модулей и модульных гомоморфизмов ), и  — цепные отображения комплекса в комплекс (то есть такие гомоморфизмы что ).

Цепной гомотопией между отображениями и называется такое семейство гомоморфизмов , что

Диаграмма для цепной гомотопии

Свойства

  • Если отображения и цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях равны (где ). В самом деле, пусть  — цикл, то есть элемент из . Тогда . Так как и цепно гомотопны, то
    ,
то есть отличаются на границу (элемент ).
  • Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

Литература

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — М.: Наука, 1989
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.