Функция масс двойных звёзд

Два тела обращаются вокруг общего центра масс, обозначенного красным крестиком. Более крупное тело обладает большей массой и, следовательно, меньшей орбитой и меньшей орбитальной скоростью, чем звезда-компаньон.

Функция масс двойных систем опирается на третий закон Кеплера, в который вводится лучевая скорость наблюдаемого компонента.[1] Третий закон Кеплера описывает движения двух тел, обращающихся вокруг одного центра масс. Он связывает период обращения (время, необходимое для совершения полного оборота), расстояние между двумя объектами и сумму их масс. При заданном расстоянии между телами в случае большей суммы масс системы орбитальные скорости также будут выше. С другой стороны, при заданной массе больший период обращения подразумевает большее расстояние и большие скорости на орбите.

Поскольку период обращения и скорости на орбите в двойной системе связаны с массами компонентов двойной, то измерение данных параметров предоставляет некоторые сведения о массе одного или обоих объектов.[2] Но, поскольку настоящую орбитальную скорость в общем случае определить невозможно, то получаемая информация весьма ограничена.[1]

Лучевая скорость является компонентом орбитальной скорости вдоль луча зрения наблюдателя. В отличие от истинной орбитальной скорости, лучевую скорость можно определить методами доплеровской спектроскопии спектральных линий в излучении звезды[3] или по вариациям времени приёма импульсов от радиопульсара.[4] В том случае, когда наблюдается спектральная линия только одного компонента, можно определить нижнюю границу для массы второго компонента.[1]

Истинные значения массы и орбитальной скорости нельзя определить по данным о лучевой скорости, поскольку наклонение орбиты относительно картинной плоскости чаще всего неизвестно (наклонение орбиты с точки зрения наблюдателя связывает лучевую скорость и орбитальную[1]). Это приводит к зависимости оценки массы от наклона орбиты.[5][6] Например, если измеренная скорость мала, это может означать либо малую орбитальную скорость (что означает малые массы объектов) и большое наклонение (орбита видна практически с ребра), либо высокую орбитальную скорость (и большие массы компонентов) при малом наклонении (орбита видна практически плашмя).

Кривая лучевой скорости при максимальных значениях K=1 м/с и периоде обращения 2 года.

Пик лучевой скорости ${\displaystyle K}$ является половиной амплитуды кривой лучевых скоростей, как показано на рисунке. Орбитальный период ${\displaystyle P_{\mathrm {orb} }}$ определяется по периодичности кривой лучевой скорости. Эти величины необходимо определить по наблюдательным данным для вычисления функции масс двойной системы.[2]

Наблюдаемый объект и его параметры обозначим индексом 1, ненаблюдаемый объект — индексом 2.

Пусть ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ — массы объектов, ${\displaystyle M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }}$ представляет полную массу двойной системы, ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ — орбитальные скорости, ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ — расстояния от объектов до центра масс системы. ${\displaystyle a_{1}+a_{2}=a}$ — большая полуось двойной системы.

Запишем третий закон Кеплера, здесь ${\displaystyle \omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }}$ — орбитальная частота, ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная.

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a^{3}.}$

По определению центра масс, ${\displaystyle M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}}$,[1] запишем

${\displaystyle a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.}$

Подставляя данное выражение для ${\displaystyle a}$ в третий закон Кеплера, получим

${\displaystyle GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}},}$

что можно переписать в виде

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.}$

Пик лучевой скорости объекта 1, ${\displaystyle K}$, зависит от наклонения орбиты ${\displaystyle i}$ (наклонение 0° соответствует орбите, видимой плашмя, при наклонении 90° орбита видна с ребра). Для круговой орбиты (эксцентриситет равен 0) ${\displaystyle K}$ определяется соотношением[7]

${\displaystyle K=v_{1}\mathrm {sin} i=\omega _{\mathrm {orb} }a_{1}\mathrm {sin} i.}$

После подстановки ${\displaystyle a_{1}}$ получаем соотношение

${\displaystyle {\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\mathrm {orb} }\mathrm {sin} ^{3}i}}.}$

Функция масс двойной системы ${\displaystyle f}$ имеет вид[8][7][2][9][1][6][10]

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.}$

Для оценки или предположения о массе ${\displaystyle M_{1}}$ наблюдаемого объекта 1 можно определить минимальную массу ${\displaystyle M_{\mathrm {2,min} }}$ ненаблюдаемого объекта 2 в предположении ${\displaystyle i=90^{\circ }}$. Истинное значение массы ${\displaystyle M_{2}}$ зависит от наклонения орбиты. Наклонение обычно неизвестно, но с некоторой точностью его можно определить из наблюдений затмений,[2] ограничить по ненаблюдаемости прохождений[8][9] или моделировать с использованием эллипсоидальных вариаций (несферическая форма звезды в двойной системе приводит к изменениям блеска при обращении по орбите, зависящим от наклонения системы).[11]

В случае, когда орбита обладает ненулевым эксцентриситетом ${\displaystyle e}$, функция массы имеет вид[7][12]

${\displaystyle f={\frac {M_{2}^{3}\ \mathrm {sin} ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}(1-e^{2})^{3/2}=10385\cdot 10^{-11}\,\left(1-e^{2}\right)^{3/2}K^{3}P_{\mathrm {orb} }}$.