Функция Струве

Функция Струве — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})f={\frac {4\left(z/2\right)^{\nu +1}}{{\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}}$

Графики функции Струве для ${\displaystyle \nu =0,1,2,3,4,5}$

Интегральное выражение функции Струве:

${\displaystyle {\mathsf {H}}_{\nu }(z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {(z/2)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(z\cdot \cos t)\cdot \sin ^{2\nu }tdt}$

Разложение в ряд:

${\displaystyle {\mathsf {H}}_{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(z/2)^{2k}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)\cdot \Gamma \left(k+\nu +{\frac {3}{2}}\right)}}}$

Модифицированная функция Струве:

${\displaystyle {\mathsf {L}}_{\nu }(z)=-i\cdot e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}\cdot {\mathsf {H}}_{\nu }(iz)}$