Функция Ляпунова

В общих теоремах об устойчивости, существование функции Ляпунова с определёнными условиями является достаточным условием устойчивости (неустойчивости) решения уравнения движения. Однако теоремы являются обратимыми и для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений существование функций Ляпунова является также необходимым условием.

Второй метод Ляпунова не требует нахождения самих решений дифференциальных уравнений, благодаря чему можно исследовать сложные нелинейные системы. Однако нахождение подходящей функции Ляпунова всегда являлось очень сложной задачей. Есть ряд исследованных случаев, для которых теоретически выводится критерий устойчивости с помощью общих теорем и функций Ляпунова. Например, устойчивость по первому приближению. Благодаря этому, второй метод Ляпунова является методом, имеющим, главным образом теоретический интерес, поскольку построение вспомогательных функций требует от исследователя неординарной математической интуиции. Однако, этот метод имеет и важное практическое значение[2].

Тем не менее, всё же самым главным преимуществом метода функций Ляпунова перед всеми остальными подходами к решению разнообразных задач устойчивости является его универсальность. Сейчас он является единственным математическим методом, который может использоваться для исследования устойчивости динамических систем любого нелинейного вида и любой размерности.

Для исследования устойчивости исходные уравнения преобразуют к уравнениям возмущенного движения.

Пусть дана некая система дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dy_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,y_{1},y_{2},...,y_{n}),}$

${\displaystyle y_{i}=f_{i}(t)}$ — частное решение этой системы. Будем считать его невозмущенным, остальные же движения будут возмущенными.

Тогда, чтобы исследовать его на устойчивость, нужно составить уравнения возмущенного движения.

Обозначим ${\displaystyle x_{i}=y_{i}-f_{i}(t)}$ возмущение выбранного движения.

Тогда ${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {dy_{i}}{dt}}-{\frac {df_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,x_{1}+f_{1},x_{2}+f_{2},...,x_{n}+f_{n})-Y_{i}(t,f_{1},f_{2},...,f_{n})=X_{i}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Каждому движению исходной системы будет соответствовать решение новой системы. При этом невозмущенному решению будет соответствовать решение ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=0.}$ Это видно из уравнений ${\displaystyle X_{i}(t,0,0,...,0)=0.}$

Пусть дана система возмущенного движения состоящая из ${\displaystyle n}$ обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$

${\displaystyle i=1,2,3,...,n.}$

При этом ${\displaystyle X_{i}}$ пусть определены и непрерывны в области ${\displaystyle |x_{i}|\leq H}$ (где ${\displaystyle H}$ некоторая положительная постоянная) и обращаются в ноль при нулевых значениях переменных.

Функцией Ляпунова называется некоторая функция ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle V(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ принимающая вещественные значения и удовлетворяющая свойствам:

1. Функция однозначная;
2. ${\displaystyle V(0,0,...,0)=0;}$
3. Непрерывная вместе со своими частными производными.

${\displaystyle V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется знакоопределенной (определенно-положительной или определённо-отрицательной) если в области ${\displaystyle |x_{i}|\leq h\leq H}$ она принимает значение только одного знака и обращается в ноль только в начале координат.

${\displaystyle V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется знакопостоянной (положительной или отрицательной) если в области ${\displaystyle |x_{i}|\leq h\leq H}$ она принимает значения только одного знака и обращается в ноль не только в начале координат.

${\displaystyle V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется знакопеременной если принимает различные значения.

Пусть

${\displaystyle x^{*}=0}$

является точкой равновесия системы автономных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x),}$

и пусть

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x)}$

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова ${\displaystyle V.}$

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на ${\displaystyle \mathbb {R}$ :}

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

Принимая во внимание то, что функция ${\displaystyle x^{2}}$ положительна в любой окрестности начала координат без точки нуль, она будет естественным кандидатом функции Ляпунова для изучения поведения ${\displaystyle x.}$ Итак, пусть ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$ Тогда,

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}$

Это показывает, что точка равновесия дифференциального уравнения является асимптотически устойчивой, а так как функция ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ является радиально неограниченной, то точка равновесия глобально асимптотически устойчива.

• Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Khalil, H.K. Nonlinear systems. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.
• La Salle, Joseph. Stability by Liapunov's Direct Method: With Applications / Joseph La Salle, Solomon Lefschetz. — New York : Academic Press, 1961.