Функция Ломмеля

Функция Ломмеля — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})f=z^{\mu +1}}$

Введена немецким математиком Эйгеном фон Ломмелем[1][2].

Интегральное выражение функции Ломмеля:

${\displaystyle {\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {\pi }{2}}\left(N_{\nu }(x)\cdot \int _{0}^{x}J_{\nu }(t)\cdot t^{\mu -1}dt-J_{\nu }(x)\cdot \int _{0}^{x}N_{\nu }(t)\cdot t^{\mu -1}dt\right)}$

где ${\displaystyle J_{\nu }(x)}$ — функция Бесселя; ${\displaystyle N_{\nu }(x)}$ — функция Неймана.

Разложение функции Ломмеля в ряд:

${\displaystyle {\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {x^{\mu }}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2k}}{\left({\frac {\mu +\nu }{2}}\right)_{k+1}\cdot \left({\frac {\mu -\nu }{2}}\right)_{k+1}}}}$

где ${\displaystyle \left(a\right)_{k}}$ — символ Похгаммера.