Функтор обратного образа

Пусть нам дан пучок ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ на ${\displaystyle Y}$ и мы хотим перенести ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ на ${\displaystyle X}$, используя непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$.

Мы будем называть результат обратным образом ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$. Если мы попытаемся имитировать определение прямого образа и положим

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),}$

для каждого открытого множества ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle X}$, мы немедленно столкнёмся с проблемой: ${\displaystyle f(U)}$ не обязательно открыто. Лучшее, что мы можем сделать — это приблизить его открытыми множествами, и даже в этом случае мы получим предпучок, а не пучок. Таким образом, мы определяем ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ как пучок, ассоциированный с предпучком

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(Здесь ${\displaystyle U}$ — открытое подмножество ${\displaystyle X}$ и копредел берётся по всем открытым подмножествам ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle Y}$, сожержащим ${\displaystyle f(U)}$.)

Например, если ${\displaystyle f}$ — это просто вложение точки ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ — это слой пучка ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в этой точке.

Существование отображений ограничения, как и функториальность обратного образа, следуют из универсального свойства прямых пределов.

Когда рассматриваются морфизмы локально окольцованных пространств ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, например схем в алгебраической геометрии, часто работают с пучками ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-модулей, где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ — структурный пучок ${\displaystyle Y}$. Тогда функтор ${\displaystyle f^{-1}}$ не подходит, так как результат его применения, вообще говоря, не является пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации для пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-модулей ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ его обратный образ определяется по правилу

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$.

• Хотя ${\displaystyle f^{-1}}$ определяется сложнее, чем ${\displaystyle f_{\ast }}$, его слои вычисляются проще: для точки ${\displaystyle x\in X}$, имеем ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$.
• ${\displaystyle f^{-1}}$ — точный функтор, как видно из приведённого выше вычисления слоёв.
• ${\displaystyle f^{*}}$, вообще говоря, только точен справа. Если ${\displaystyle f^{*}}$ точен, f называется плоским.
• ${\displaystyle f^{-1}}$ сопряжён слева к функтору прямого образа ${\displaystyle f_{\ast }}$, то есть существует естественный изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.