Формула Якоби

Формула Якоби — формула, связывающая определитель матрицы, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, в начале интервала интегрирования с определителем матрицы в конце интервала интегрирования.

Формулировка

Пусть $X(t)$ — решение уравнения ${\dot {X}}=A(t)X$ , где $X,A$ — матрицы. Тогда:

\det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)

Доказательство

Можно доказать, что ${\dot {(\det X)}}=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})$ [1]. В доказуемой формуле ${\dot {X}}X^{-1}=A(t)$ . Таким образом, функция $y(t)=\det X(t)$ удовлетворяет условию ${\dot {(\ln y)}}={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)$ . Поэтому $y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)$ , где $c=y(0)=\det X(0)$ [2].

Примечания

Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 276.
Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 273.

Литература

Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_9f57c7888f82921f-1] Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 276.

[_9f57c7888f82921a-2] Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 273.