Факторно делимая абелева группа

Факторно делимая абелева группа (англ. quotient divisible abelian group) — абелева группа , которая не содержит подгрупп вида , но содержит свободную подгруппу конечного ранга, такую что  — делимая периодическая группа.

Всякий базис свободной группы называется базисом факторно делимой группы .

Примеры

  • Любая свободная абелева группа конечного ранга (то есть группа вида ) и любая делимая абелева группа без кручения конечного ранга (то есть группа вида ) являются факторно делимыми.
  • Группа вида является факторно делимой.
  • Абелева группа без кручения ранга 1 является факторно делимой тогда и только тогда, когда имеет идемпотентный тип.

История

Впервые факторно делимые группы были введены Бомоном и Пирсом[1] в 1961 году в классе абелевых групп без кручения. В 1998 году Уиклесс и Фомин[2] обобщили это понятие на случай смешанных абелевых групп.

Они доказали, что категория факторно делимых групп с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов двойственна категории абелевых групп без кручения конечного ранга с квазигогоморфизмами в качестве морфизмов.

Факторно делимые группы ранга 1

Пусть  — произвольное простое число. Число называется -ковысотой элемента абелевой группы , если  — наименьшее целое неотрицательное число, такое что делится в группе на любую натуральную степень числа . Если такого числа не существует, то говорят, что элемент имеет бесконечную -ковысоту.

Последовательность -ковысот элемента , занумерованную простыми индексами, называется кохарактеристикой элемента и обозначается .

Пусть  — факторно делимая группа ранга 1 и  — некоторый ее базисный элемент, то есть  — делимая периодическая группа. Тогда

  • для любого элемента ;
  • для любого другого базисного элемента .

В связи с этим кохарактеристикой факторно делемой группы ранга 1 называют кохарактеристику любого ее базисного элемента.

Теорема[3]: Две факторно делимые группы ранга 1 изоморфны тогда и только тогда, когда их кохарактеристики совпадают.

Примечания

Литература

  • Давыдова О. И.  Факторно делимые группы ранга 1 // Фундаментальная и прикладная математика. — 2007. Т. 13, № 3. С. 25—33.
  • Beaumont R., Pierce R.  Torsion free rings // Illinois Journal of Mathematics. — 1961. — Vol. 5. — P. 61—98.
  • Fomin A. A., Wickless W.  Quotient divisible abelian groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1998. — Vol. 126, no. 1. — P. 45—52.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.