Уравнение Фишера

Уравнение имеет следующий вид[1].

${\displaystyle i=r+\pi }$,

где ${\displaystyle i}$ — номинальная ставка процента; ${\displaystyle r}$ — реальная ставка процента; ${\displaystyle \pi }$ — темп инфляции.

Уравнение в приближенной форме (см. Вывод) описывает явление, которое называется эффектом Фишера. Эффект состоит в том, что номинальная ставка процента может измениться по двум причинам:

• из-за изменений реальной ставки процента;
• из-за изменения темпа инфляции.

Уровень цен в экономике со временем меняется. Инвестор также размещает деньги под проценты на определенный срок. Поэтому он заинтересован в том, чтобы получить не только определенный доход, но и компенсировать падение покупательной способности денег в будущем. Например, если инвестор положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.

В уравнении может использоваться как фактический темп инфляции ${\displaystyle \pi }$, так и его ожидаемое значение ${\displaystyle \pi ^{e}}$. В первом случае, формула позволяет вычислить реальную ставку на основе полученной номинальной доходности и фактического роста цен. Во втором случае инвестор может определить для себя ожидаемую номинальную доходность, исходя из прогнозируемых значений.

Уравнение в приведенной выше форме является приближенным. Оно выполняется тем точнее, чем меньше по модулю значения ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \pi }$. Поэтому с математической точки зрения правильно писать приближенное равенство:

${\displaystyle i\approx r+\pi }$,

Точная запись уравнения выглядит следующим образом:

${\displaystyle 1+i=(1+r)\times (1+\pi )}$

Если раскрыть скобки, то получится следующая запись:

${\displaystyle 1+i=1+r+\pi +r\pi }$

или

${\displaystyle i=r+\pi +r\pi }$

С точки зрения математического анализа, если ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \pi }$ стремятся к нулю, то произведение ${\displaystyle r\pi }$ является бесконечно малой более высокого порядка. Поэтому при малых (по модулю) значениях ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \pi }$ произведением ${\displaystyle r\pi }$ можно пренебречь. В результате получится упомянутая выше приближенная запись.

Пусть, например, ${\displaystyle r=\pi =1\%}$. Тогда сумма этих величин равна 2 %, а произведение — 0,01 %. Если же взять ${\displaystyle r=\pi =10\%}$, то сумма получится равной 20 %, а произведение 1 %. Таким образом, с ростом значений погрешность в расчетах становится все больше.

Точную запись можно также преобразовать к следующему виду, предложенному Фишером:

${\displaystyle r={\frac {1+i}{1+\pi }}-1={\frac {i-\pi }{1+\pi }}}$

В тривиальных случаях при ${\displaystyle \pi =0}$ или ${\displaystyle \pi =i}$ обе формулы (точная и приближенная) дают одинаковое значение реальной процентной ставки.

• Процентная ставка
• Инфляционные ожидания

• Вечканов Г. C., Вечканова Г. Р. Макроэкономика. — СПб.: Питер, 2008. — С. 55. — (Серия «Краткий курс»). — ISBN 978-5-91180-108-3.
• Четыркин Е. М. Финансовая математика: Учеб.. — М.: Дело, 2000. — 400 с.