Угол параллельности

• ${\displaystyle \Pi (a)}$ является острым углом при катете, равном ${\displaystyle a}$, в прямоугольном гиперболическом треугольнике, который имеет две асимптотические параллельные стороны.
• ${\displaystyle \lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.}$

• ${\displaystyle \sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

• ${\displaystyle \cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\ ,}$

• ${\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}}$

• ${\displaystyle \operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},}$

• ${\displaystyle \Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),}$

где sh, ch, th, sech и csch — гиперболические функции, а gd — функция Гудермана.

Угол параллельности рассматривался Лобачевским[1]. В частности, он вывел соотношение

${\displaystyle \operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.}$

• Д. Мордухай-Болтовской. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского (рус.) // In mem. Lobatschevskii. — 1927. — Т. 2. — С. 67–82.
• Лобачевский, Николай Иванович. Геометрические исследования по теории параллельных линий. — М.—Л.: изд-во Академии Наук СССР, 1945. — 176 с.