Тропическая геометрия

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.[1]

Тропическая прямая на плоскости

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе[1] — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона[2][3][4], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации[5].

Независимо от бразильской школы термин «тропическая» к тому же разделу математики с середины 1980-х годов применял В. П. Маслов. По его мысли, «идемпотентный (тропический) анализ» через посредство термодинамики описывал с экономической точки зрения европейскую колонизацию тропической Африки. Термин «идемпотентный» в научной среде не прижился, а термин «тропическая» применительно к новой математике, как более благозвучный и ёмкий, оказался очень популярным, хотя разные школы вкладывают в него разный смысл[6][7].

Основные понятия

Тропические кривые второй степени (в разных масштабах). Показаны соответствующие многочлены. Числа у рёбер показывают их кратность, если она не соответствует их наклону.
Тропические кривые третьей степени.
  • Тропическое полукольцо (или тропическое полуполе) — множество вещественных чисел , снабжённое операциями тропического сложения и тропического умножения
  • Тропический многочлен степени на плоскости — кусочно-аффинная функция вида

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

  • Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену степени  — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции . Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней и , снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей и .
  • В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

Примечания

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.