Транспозиция (математика)

Пусть дано конечное множество ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$, транспозицией на нём называется перестановка (биективная функция из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle f}$ такая, что существуют индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ такие, что ${\displaystyle f(a_{i})=a_{j}}$, ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i}}$ и ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k}}$ для всех остальных индексов ${\displaystyle k.}$

Транспозиция часто представляется в виде цикла ${\displaystyle (a_{i},a_{j}).}$

Например, если ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\}}$, функция ${\displaystyle \sigma }$ определена как

${\displaystyle {\begin{matrix}\sigma (a)&=&a\\\sigma (b)&=&e\\\sigma (c)&=&c\\\sigma (d)&=&d\\\sigma (e)&=&b\end{matrix}},}$

то данная перестановка является транспозицией.

Любая перестановка может быть представлена в виде композиции (произведения) транспозиций.

Знак перестановки может быть определен из разложения перестановки в произведение транспозиций: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m}}$, где ${\displaystyle m}$ — число транспозиций в разложении.

• Перестановка