Точка Шиффлера

Точка Шиффлера — замечательная точка треугольника, являющаяся пересечением прямых Эйлера четырёх треугольников ${\displaystyle \triangle ABC}$, ${\displaystyle \triangle ABI}$, ${\displaystyle \triangle AIC}$, ${\displaystyle \triangle IBC}$, где ${\displaystyle I}$ — инцентр ${\displaystyle \triangle ABC}$. Теорема Шиффлера утверждает, что эти четыре линии действительно пересекаются в одной точке.

Точка Шиффлера ${\displaystyle Sp}$ как точка пересечения прямых Эйлера трёх треугольников ${\displaystyle \triangle BCI}$, ${\displaystyle \triangle CAI}$ и ${\displaystyle \triangle ABI}$ (четвёртый треугольник не показан).

Трилинейные координаты точки Шиффлера имеют вид:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{\cos B+\cos C}},{\frac {1}{\cos C+\cos A}},{\frac {1}{\cos A+\cos B}}\right]}$

или в эквивалентной записи через стороны:

${\displaystyle \left[{\frac {b+c-a}{b+c}},{\frac {c+a-b}{c+a}},{\frac {a+b-c}{a+b}}\right]}$

где через ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ обозначены длины сторон треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.

Обнаружена немецким геометром-любителем Куртом Шиффлером в 1985 году. В «Энциклопедии центров треугольника» Кимберлинга идентифицируется как точка (центр) ${\displaystyle X(21)}$.