Теорема о сложении скоростей

Сложное движение.

Движение в механике всегда рассматривается по отношению к какой-либо системе отсчёта. Однако в некоторых случаях бывает целесообразно или даже необходимо изучать движение материальной точки (МТ) относительно двух различных систем отсчёта одновременно. Одну из этих систем отсчёта условно считают неподвижной, базовой, а другую полагают движущейся относительно первой. Тогда движение точки можно рассматривать, как состоящее из двух движений: первое — движение относительно движущейся системы отсчёта, второе — движение вместе с движущейся системой относительно неподвижной. Такое движение точки называют сложным или составным.

Условно неподвижную систему отсчёта принято называть абсолютной. Соответственно, абсолютными называют движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой СО. На рисунке система отсчёта K выбрана в качестве абсолютной.

Условно подвижную систему отсчёта принято называть относительной. Движение, перемещение, скорость и ускорение точки относительно этой системы также именуют относительными. Система K' на рисунке является относительной.

Движение, совершаемое подвижной системой K' и всеми жёстко связанными с нею точками пространства[3] относительно системы К, называют перено́сным. Если некоторая МТ движется относительно подвижной системы K', то в общем случае та точка системы K', в которой в данный момент находится МТ, также движется относительно неподвижной системы К. Мгновенную скорость этой точки системы K' называют переносной скоростью МТ.

Пусть МТ в некоторый момент времени находилась в точке А, а через промежуток времени ${\displaystyle \Delta t}$ оказалась в точке В (см. рис.). Тогда её перемещение относительно системы К (абсолютное перемещение) будет равно ${\displaystyle {\vec {S}}_{a}}$. Точка А подвижной системы K' за время ${\displaystyle }$ переместилась вместе с K' и оказалась в точке С, совершив перемещение относительно системы К (переносное перемещение), изображённое на рисунке вектором ${\displaystyle {\vec {S}}_{e}}$. С точки зрения наблюдателя, связанного с системой K', точка С является той точкой, в которой МТ находилась первоначально, поэтому вектор ${\displaystyle {\vec {S}}_{r}}$ представляет собой перемещение МТ относительно подвижной системы K', то есть относительное перемещение. Из сказанного и векторной диаграммы на рисунке следует

${\displaystyle {\vec {S}}_{a}={\vec {S}}_{e}+{\vec {S}}_{r}.}$

Деля данное равенство на промежуток времени ${\displaystyle \Delta t}$, а затем устремляя его к нулю, в пределе получаем

${\displaystyle {\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{a}}$ — абсолютная, ${\displaystyle {\vec {v}}_{e}}$ — переносная, а ${\displaystyle {\vec {v}}_{r}}$ — относительная скорость движения МТ.

Полученное равенство является математическим выражением теоремы о сложении скоростей, которая формулируется так:

Теорему о сложении скоростей называют также правилом параллелограмма скоростей[4].

В общем случае движение системы K' можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью, равной скорости начала координат системы K', и вращательного движения вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Можно показать, что переносная скорость ${\displaystyle {\vec {v}}_{e}}$, скорость начала координат ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ и угловая скорость вращательного движения системы ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ связаны соотношением[5]

${\displaystyle {\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}].}$

С учётом этого равенства математическое выражение теоремы приобретает вид

${\displaystyle {\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}]+{\vec {v}}_{r}.}$

Утверждение теоремы, доказанное для двух систем отсчёта нетрудно обобщить на случай произвольного их количества. Действительно, предположим, что считавшаяся нами до сих пор неподвижной система К движется относительно некоторой третьей системы. Тогда для абсолютной скорости ${\displaystyle {\vec {v'_{a}}}}$ МТ в этой системе в силу доказанной теоремы будет выполняться

${\displaystyle {\vec {v'_{a}}}={\vec {v'_{e}}}+{\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},}$

где ${\displaystyle {\vec {v'_{e}}}}$ — переносная скорость точки системы К, в которой в данный момент времени находится МТ, движение которой мы изучаем. Очевидно, что рассуждая аналогичным образом, можно получить формулу сложения скоростей, пригодную для любого количества систем отсчёта.

Утверждение теоремы о сложении скоростей справедливо только до тех пор, пока скорости, о которых идёт речь в теореме, много меньше скорости света. В противном случае следует использовать релятивистскую формулу сложения скоростей.

Замечание. Радиус-вектор ${\displaystyle r(t)}$ МТ в системе отсчёта К всегда можно представить в виде суммы двух векторов:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)+{\vec {r'}}(t),}$

где ${\displaystyle {\vec {R}}(t)}$ — радиус-вектор начала подвижной системы координат, а ${\displaystyle {\vec {r'}}(t)}$ — радиус-вектор МТ в подвижной системе K'. После дифференцирования из равенства следует

${\displaystyle {\vec {v}}_{a}={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}.}$

Полученное соотношение справедливо для любой МТ и для любого момента времени. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае первый член суммы не равен переносной скорости, а второй — не равен относительной скорости. Действительно, ${\displaystyle {\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}}$ — это скорость начала системы координат K' ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ и при наличии вращения системы K' не совпадает со скоростью той точки системы, в которой в данный момент находится МТ. В свою очередь ${\displaystyle {\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}}$ представляет собой скорость МТ относительно начала координат, то есть, определяется иначе, чем относительная скорость ${\displaystyle {\vec {v}}_{r}}$. Равенства ${\displaystyle {\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{e}}$ и ${\displaystyle {\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{r}}$ выполняются только в тех случаях, когда система K' движется поступательно, то есть когда она не совершает поворотов (${\displaystyle {\vec {\omega }}=0}$) и все её точки движутся одинаково[6].

1. В системе отсчёта, связанной с Землёй, скорость пассажира[7], идущего по коридору вагона, можно рассматривать, как складывающуюся из двух скоростей. Первая из них — скорость, с которой движется точка вагона, в которой в данный момент находится пассажир, — переносная скорость, то есть скорость, с которой вагон «переносит» пассажира. Второе слагаемое — скорость движения пассажира относительно вагона. Если вагон движется по закруглению пути, то направление абсолютной скорости пассажира изменяется за счёт изменения переносной скорости.
2. Абсолютная скорость мухи[8], ползущей по вращающейся граммофонной пластинке, равна геометрической сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно Земли — переносной скорости.
3. Движение точки колеса (окружности), катящегося по горизонтальной поверхности без проскальзывания, можно рассматривать как сложное движение, состоящее из движения колеса в целом со скоростью ${\displaystyle v}$ и вращения точек колеса вокруг его оси с угловой скоростью ${\displaystyle \omega }$. Тогда в соответствии с теоремой о сложении скоростей проекции абсолютной скорости точки колеса на горизонтальную и вертикальную оси можно записать в виде

${\displaystyle v_{x}=v-v\cos \omega t}$

${\displaystyle v_{y}=v\sin \omega t,}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус колеса. После интегрирования и с учётом ${\displaystyle v=\omega R}$ из этих уравнений следует:

${\displaystyle x=\omega Rt-R\sin \omega t}$

${\displaystyle y=R-R\cos \omega t.}$

Полученные уравнения представляют собой параметрические уравнения циклоиды, соответственно траекторией движения точки колеса является циклоида.