Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — утверждение о достаточных условиях аналитичности функции нескольких комплексных переменных. В случае нескольких комплексных переменных достаточным условием аналитичности является аналитичность по каждому переменному. Для функций действительных переменных это неверно: функция $f(x,y)={\frac {xy}{(x^{2}+y^{2})}},f(0,0)=0$ бесконечно дифференцируема по $x$ (или $y$ ) когда $y$ (или $x$ ) является фиксированным, но $f$ даже не является непрерывной в начале координат.

Формулировка

Если комплекснозначная функция $F$ определена в открытом множестве $\Omega$ $n$ -мерного комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ и аналитическая по каждому переменному $z_{j}$ , когда другие переменные фиксированы, то функция $F$ является аналитической в $\Omega$ .

История

При дополнительном предположении непрерывности, это утверждение иногда называется леммой Осгуда, её доказал Вильям Осгуд[1]

Примечания

Osgood, William F. (1899), Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen, Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) . — Т. 52: 462–464, ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01476172

Литература

Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. — М.: Мир, 1968. — 280 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Osgood, William F. (1899), Note über analytische Functionen mehrerer Veränderlichen, Mathematische Annalen (Springer Berlin / Heidelberg) . — Т. 52: 462–464, ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/BF01476172