Теорема Таубера

Если ${\displaystyle a_{n}=o\left({\frac {1}{n}}\right)}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$, и ${\displaystyle \lim \limits _{x\to 1-0}\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=s}$, то ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ сходится, причём к сумме ${\displaystyle s}$.

Здесь равенство ${\displaystyle f(x)=o(\varphi (x))}$ означает, что ${\displaystyle {\frac {f(x)}{\varphi (x)}}\rightarrow 0}$, когда ${\displaystyle x}$ стремится к заданному пределу (см. О-нотация).

Достаточно доказать, что при ${\displaystyle N=\left[{\frac {1}{(1-x)}}\right]}$ и ${\displaystyle x\rightarrow 1-0}$ выполняется

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}-\sum _{n=0}^{N}a_{n}\rightarrow 0}$.

то есть

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}x^{n}-\sum _{n=0}^{N}a_{n}(1-x^{n})\rightarrow 0}$.

Обозначим:

${\displaystyle S_{1}=\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}x^{n}}$,

${\displaystyle S_{2}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}(1-x^{n})}$.

Очевидно:

${\displaystyle \left|S_{1}\right|=\left|\sum _{n=N+1}^{\infty }na_{n}{\frac {x^{n}}{n}}\right|<{\frac {\varepsilon }{N+1}}\sum _{n=N+1}^{\infty }x^{n}<{\frac {\varepsilon }{(N+1)(1-x)}}<\varepsilon }$.

Вследствие того, что

${\displaystyle 1-x^{n}=(1-x)(1+x+...+x^{n-1})<n(1-x)}$

вытекает:

${\displaystyle \left|S_{2}\right|<(1-x)\sum _{n=0}^{N}n\left|a_{n}\right|\leqslant {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N}n\left|a_{n}\right|}$.

В силу леммы правая часть стремится к нулю, так что и ${\displaystyle \left|S_{2}\right|<\varepsilon }$, при достаточно больших ${\displaystyle N}$, получаем ${\displaystyle \left|S_{1}-S_{2}\right|<2\varepsilon }$. Доказательство теоремы завершено.

Если ${\displaystyle b_{n}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, то ${\displaystyle {\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}}\rightarrow 0}$.

Всегда можно найти такие числа ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \epsilon }$, ${\displaystyle n_{0}}$, что ${\displaystyle \left|b_{n}\right|<K}$ при всех ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \left|b_{n}\right|<\epsilon }$ при ${\displaystyle n>n_{0}}$.

Возьмем ${\displaystyle n>n_{0}}$ и ${\displaystyle n>(n_{0}+1){\frac {K}{\epsilon }}}$.

Имеем:

${\displaystyle \left|{\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n}}{n+1}}\right|\leqslant \left|{\frac {b_{0}+b_{1}+...+b_{n_{0}}}{n+1}}\right|+\left|{\frac {b_{n_{0}+1}+b_{n_{0}+2}+...+b_{n}}{n+1}}\right|\leqslant {\frac {(n_{0}+1)K}{n+1}}+{\frac {(n-n_{0})\epsilon }{n+1}}<2\epsilon }$.

Доказательство леммы завершено.

• Е. Титчмарш. Теория функций. — Наука, 1980. — 464 с.