Теорема Римана — Роха для поверхностей

Одна из форм теоремы Римана — Роха утверждает, что если D является дивизором несингулярной проективной поверхности, то

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)\,}$,

где χ — голоморфная эйлерова характеристика, символ «точка» — индекс пересечения, а K — канонический дивизор. Константа χ(0) является голоморфной эйлеровой характеристикой тривиального расслоения и равна 1 + p_a, где p_a — арифметический род поверхности. Для сравнения, теорема Римана — Роха для кривой утверждает, что ${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+deg(D)}$.

Формула Нётера утверждает, что

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(K.K)+e}{12}}}$,

где χ=χ(0) — голоморфная эйлерова характеристика, ${\displaystyle c_{1}^{2}=(K.K)}$ — число Чженя и число самопересечений канонического класса K, а ${\displaystyle e=c_{2}}$ является топологической эйлеровой характеристикой. Формула может быть использована для замены члена χ(0) в теореме Римана — Роха в топологических терминах. Это даёт теорему Хирцебруха — Римана — Роха для поверхностей.

Для поверхностей Теорема Хирцебруха — Римана — Роха, по существу, является теоремой Римана — Роха для поверхностей, скомбинированной с формулй Нётера. Чтобы это видеть, напомним, что для любого дивизора D на поверхности существует обратимый пучок L = O(D), такой, что линейная система дивизора D является более или менее пространством сечений L. Для поверхностей класс Тодда — это ${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$, а характер Чженя пучка L — это просто ${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$. Таким образом, теорема Хирцебруха — Римана — Роха утверждает, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

К счастью, формулу можно переписать в более ясном виде следующим образом. В первую очередь, полагая D = 0, получим, что

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$     (Формула Нётера)

Для обратимых пучков (линейных расслоений) второй класс Чженя равен нулю. Произведения вторых классов когомологий можно отождествить с числами пересечения в группе Пикара, и мы получаем более классическую версию теоремы Римана — Роха для поверхностей:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(D.D-D.K)}$

При желании мы можем использовать двойственность Серра для выражения ${\displaystyle h^{2}(\mathrm {O} (D))}$ как ${\displaystyle h^{0}(\mathrm {O} (K-D))}$, но, в отличие от случая кривых, не имеется в общем случае простого пути записать член ${\displaystyle h^{1}(\mathrm {O} (D))}$ в форме, не использующей когомологии пучков (хотя, на практике, он часто обращается в нуль).

Наиболее ранние формы теоремы Римана — Роха для поверхностей часто формулировались в виде неравенств, а не равенств, поскольку не было прямого геометрического описания групп первой когомологии. Типичный пример формулировки дал Зарисский[4], в которой утверждается

${\displaystyle r\geqslant n-\pi +p_{a}+1-i}$,

где

• r — размерность полной линейной системы |D| дивизора D (так что ${\displaystyle r=h^{0}(\mathrm {O} (D))-1}$)
• n — виртуальная степень дивизора D, задаваемая числом самопересечений (D.D)
• π — виртуальный род дивизора D, равен 1 + (D.D + K.D)/2
• p_a — арифметический род ${\displaystyle \chi (\mathrm {O} _{F})-1}$ поверхности
• i — индекс специфичности дивизора D, равен ${\displaystyle dimH^{0}(\mathrm {O} (K-D))}$ (что, согласно двойственности Серра, равно ${\displaystyle dimH^{2}(\mathrm {O} (D))}$).

Разность двух частей этого неравенства называется избыточностью s дивизора D. Сравнение этого неравенства с версией теоремы Римана — Роха с пучками показывает, что избыточность дивизора D задаётся равенством ${\displaystyle s=dimH^{1}(\mathrm {O} (D))}$. Дивизор D назывался регулярным, если ${\displaystyle i=s=0}$ (или, другими словами, если все группы высоких когомологий O(D) обращаются в нуль) и избыточным, если ${\displaystyle s>0}$.