Теорема Решетняка о мажоризации

Теорема Решетняка о мажоризации — удобная характеризация CAT(k) пространств.

Доказана Юрием Григорьевичем Решетняком в 1960, в той же статье он доказал теорему о склеивании.

Формулировка

Пусть $X$ — CAT(κ) пространство и $\gamma \colon \mathbb {S} ^{1}\to X$ замкнутая спрямляемая кривая. В слуачае если $\kappa >0$ , предположим дополнительно, что $\gamma$ короче чем ${\tfrac {2\cdot \pi }{\sqrt {\kappa }}}$ . Тогда найдётся выпуклая фигура $\Phi$ в $\kappa$ -плоскости сравнения с периметром равным длине $\gamma$ и короткое отображение $s:\Phi \to X$ такое, сужение $s|_{\partial \Phi }$ совпадает с $\gamma$ .

Замечания

Отображение $s:\Phi \to X$ в формулировке называется мажоризацией $\gamma$ .
Выпуклая фигура $\Phi$ называется мажоризатором $\gamma$ .

Следствия

Любая замкнутая геодезическая в CAT(1) пространстве имеет длину не меньше $2\cdot \pi$ .

Литература

Ю. Г. Решетняк. К теории пространств кривизны, не большей K // Матем. сб.. — 1960. — Т. 52(94), № 3. — С. 789—798.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.