Теорема Пуанкаре о возвращении

Теорема Пуанкаре о возвращении — одна из базовых теорем эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность.

Формулировка

Полная формулировка теоремы следующая[1] [2]:

Пусть $T$ — сохраняющее меру преобразование пространства с конечной мерой $(X,\mu )$ и пусть $A\subset X$ — измеримое множество. Тогда для некоторого натурального $N$

\mu (\{x\in A\colon \{T^{n}(x)\}_{n\geqslant N}\subset (X\setminus A)\})=0

.

Следствия

У данной теоремы есть неожиданное следствие: оказывается, если в сосуде, разделённом перегородкой на два отсека, один из которых заполнен газом, а другой пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной части сосуда. Разгадка этого парадокса в том, что «некоторое время» очень велико.

Примечания

Каток, Хасселблат, 1999, с. 152.
Norbert Marwan, M. Carmen Romano, Marco Thiel, Jürgen Kurths. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Physics Reports. — 2007. — № 438. — С. 237–329. — ISSN 0370-1573.

Литература

Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / Перевод с английского А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 5-е стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — С. 62. — ISBN 5-354-00341-5

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_59871edcaaad7978-1] Каток, Хасселблат, 1999, с. 152.

[2] Norbert Marwan, M. Carmen Romano, Marco Thiel, Jürgen Kurths. Recurrence plots for the analysis of complex systems // Physics Reports. — 2007. — № 438. — С. 237–329. — ISSN 0370-1573.