Теорема Нэша — Мозера

Теорема Нэша — Мозера — одно из обобщений теоремы об обратной функции. Вариант этой теоремы был использован Джоном Форбсом Нэшем при доказательстве теоремы о регулярном вложении. Из его статьи ясно, что его метод может быть обобщен. Юрген Мозер показал, что метод Нэша применим для решения задач о периодических орбитах в небесной механике в теории Колмогорова — Арнольда — Мозера. На сегодняшний день существует несколько версий формулировки, принадлежащие Громову, Гамильтону, Хермандеру, Мозеру, Сен-Раймонду, Шварцу и Сергерарту.

Одно из доказательств теоремы основано на использовании модифицированного варианта процесса Ньютона нахождения решения уравнения. Другие подходы, в частности подходы Нэша и Гамильтона, следуют решению обыкновенного дифференциального уравнения в функциональном пространстве.

Идея доказательства

Этот раздел предназначен только для описания идеи и поэтому намеренно неточен.

Предположим, что $P$ — дифференциальный оператор первого порядка определённый на гладких функциях между векторными пространствами, так что он определяет отображение $P\colon C^{k+1}\to C^{k}$ для каждого $k$ . Предположим, что при некоторой функции $f_{0}\in C^{k+1}$ линеаризация $D_{f}P\colon C^{k+1}\to C^{k}$ имеет правый обратный оператор $S_{f}\colon C^{k}\to C^{k}$ для любой функции $f$ , достаточно близкой к $f_{0}$ .

Заметим, что композиция $S_{f}\circ D_{f}P$ и теряет одну производную. Из этого можно увидеть, что попытки использовать метод Ньютона для нахождения решения $P(f)=g_{\infty }$ терпят провал. То есть если $(f_{n})$ — последовательность функций определяемая итеративно

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}g_{\infty }-P(f_{n}){\big )},

то из $f_{0}=f\in C^{k+1}$ следует, что $g_{\infty }-P(f_{0})\in C^{k}$ , и тогда $f_{1}\in C^{k}$ . По тем же соображениям, $f_{2}\in C^{k-1}$ , $f_{3}\in C^{k-2}$ , и так далее. Через конечное число шагов итерация должна закончиться, так как она потеряет всякую регулярность, и следующий шаг даже не будет определен.

Для решения этой задачи, Нэш использует сглаживающий оператор $\theta _{n}$ который для данной функции $f$ , возвращает гладкую функцию $\theta _{n}(f_{n})$ близкую к исходной, если $n$ велико. Затем определяется «сглаженная» итерация Ньютона

f_{n+1}=f_{n}+S_{f_{n}}{\big (}\theta _{n}(g_{\infty }-P(f_{n})){\big )}.

Этот модифицированный процесс не сталкивается с той же трудностью, что и предыдущая «несглаженная» версия, поскольку это итерация в пространстве гладких функций, которая никогда не теряет регулярности.

При правильно выбранных сглаживающих операторах, эта последовательность действительно сходится к решению $f_{\infty }$ ; то есть $P(f_{\infty })=g_{\infty }$ .

Литература

М. Л. Громов. Сглаживание и обращение дифференциальных операторов (рус.) // Матем. сб.. — 1972. — Т. 88(130), № 3(7). — С. 382–441.

Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. — М.: Мир, 1990. — 536 с. — ISBN 5-03-001297-4, 3-540-12177-3.

Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.

Hamilton, Richard S. (1982), The inverse function theorem of Nash and Moser, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Т. 7 (1): 65–222, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15004-2, <http://www.ams.org/bull/1982-07-01/S0273-0979-1982-15004-2>

Hörmander, Lars (1976), The boundary problems of physical geodesy, Arch. Rational Mech. Anal. Т. 62 (1): 1-52
- Hörmander, L. (1977), Correction to: "The boundary problems of physical geodesy", Arch. Rational Mech. Anal. Т. 65 (44): 395

Moser, Jürgen (1966a), A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. I, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) Т. 20: 265–315, <http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_2_265_0>

Moser, Jürgen (1966b), A rapidly convergent iteration method and non-linear partial differential equations. II, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) Т. 20: 499–535, <http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1966_3_20_3_499_0>

Nash, John (1956), The imbedding problem for Riemannian manifolds, Annals of Mathematics Т. 63 (1): 20–63, DOI 10.2307/1969989.

Saint-Raymond, Xavier (1989), A simple Nash-Moser implicit function theorem, Enseign. Math. (2) Т. 35 (3-4): 217-226

Schwartz, J. (1960), On Nash's implicit functional theorem, Comm. Pure Appl. Math. Т. 13: 509-530

Sergeraert, Francis (1972), Un théorème de fonctions implicites sur certains espaces de Fréchet et quelques applications, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) Т. 5: 599-660

Zehnder, E., Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. I, Comm. Pure Appl. Math. Т. 28: 91-140

Zehnder, E., Generalized implicit function theorems with applications to some small divisor problems. II, Comm. Pure Appl. Math. Т. 29 (1): 49-111

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.