Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке $\left[a,b\right]$ функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют $C$ -свойством.

Формулировка

Для того, чтобы функция $f(x)$ , заданная на отрезке $\left[a,b\right]$ , была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым $C$ -свойством: для любого $\varepsilon >0$ найдётся такая функция $\varphi (x)$ , непрерывная на отрезке $\left[a,b\right]$ , что мера множества $\{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\}$ меньше $\varepsilon$ .

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге [1]. Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова[2]. В этой теореме произвольно малое число $\varepsilon >0$ нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).

История открытия

Примечания

Соболев В. И., Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 135.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. — гл. V, пар 4.7.

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина. — Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Соболев В. И., Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 135.

[2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. — гл. V, пар 4.7.