Теорема Кнастера — Тарского

Пусть ${\displaystyle \langle L,\sqsubseteq \rangle }$ — полная решётка, а отображение ${\displaystyle f:L\to L}$ — монотонно, то есть сохраняет отношение порядка: ${\displaystyle l_{1}\sqsubseteq l_{2}\Rightarrow f(l_{1})\sqsubseteq f(l_{2})}$, то множество всех неподвижных точек:

${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)=\{l\in L\mid f(l)=l\}}$

также является полной решёткой.

Из теоремы Кнастера — Тарского следует, что монотонное отображение полной решётки на себя имеет хотя бы одну неподвижную точку (так как полная решётка не может быть пустой). Более того, такое отображение имеет наименьшую и наибольшую неподвижные точки[2].

Теорема Клини о неподвижной точке утверждает, что для непрерывных по Скотту отображений (которые, как следствие непрерывности, являются монотонными) существует наименьшая неподвижная точка. Кроме того, теорема Клини выполнена также для любых полных частичных порядков.

• S. Abramsky, Dov M. Gabbay, T. S. E. Maibaum, Handbook of Logic in Computer Science: Volume 1: Background: Mathematical Structures