Теорема Гротендика о расщеплении

Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.

История

Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году.[1] Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году,[2] но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю[3] и в 1905 году Давиду Гильберту.[4]

Формулировки

Формулировка Гротендика

Каждое голоморфное векторное расслоение над голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

где обозначает расслоение с классом Черна . Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.

Формулировка Биркгофа

Обратимая матрица , каждая компонента которой является многочленом Лорана от , представляется в виде произведения

,

где матрица — многочлен от , — диагональная матрица, и матрица — многочлен от .

Приложения

  • Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.

Вариации и обобщения

Примечания

  1. Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann, American Journal of Mathematics Т. 79: 121•138, DOI 10.2307/2372388.
  2. Birkhoff, George David (1909), Singular points of ordinary linear differential equations, Transactions of the American Mathematical Society Т. 10 (4): 436–470, ISSN 0002-9947, DOI 10.2307/1988594
  3. Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211–245.
  4. Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
  5. Hazewinkel, Michiel & Martin, Clyde F. (1982), A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line, Journal of Pure and Applied Algebra Т. 25 (2): 207–211, DOI 10.1016/0022-4049(82)90037-8

Литература

  • Okonek, C.; Schneider, M. & Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.