Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности

Теорема Вейерштрасса об ограниченной сверху возрастающей последовательности (или ограниченной снизу убывающей последовательности) утверждает, что любая ограниченная сверху монотонно возрастающая (или ограниченная снизу монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причём этот предел равен её точной верхней (или нижней) грани. Несмотря на прозрачность и очевидность доказательства, эта теорема оказывается очень удобной для нахождения пределов многих последовательностей или хотя бы доказательства их существования.

Формулировка и доказательство

Пусть ${x_{n}}$ — ограниченная возрастающая последовательность. Тогда множество $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ограничено, следовательно, по теореме о супремуме, имеет супремум. Обозначим его через $S$ . Тогда $\lim _{n\to \infty }x_{n}=S$ . Действительно, так как $S$ — супремум множества $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , то для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$ такой, что $S-\varepsilon <x_{N}\leqslant S$ . Тогда для любого $n>N$ имеем: $S-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant S<S+\varepsilon$ . Тогда $\left|{x_{n}-S}\right|<\varepsilon$ при $n>N$ . Следовательно, $\lim _{n\to \infty }x_{n}=S$ . Теорема доказана.[1]

Примечания

Зорич, с.101-102

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Зорич, с.101-102