Счётная дырка

Счётной дыркой в линейно упорядоченном множестве ${\displaystyle (X,<)}$ называется пара множеств ${\displaystyle (A,B)}$ таких, что:

1. ${\displaystyle A,B\subseteq X}$,

1. ${\displaystyle |A|,|B|\leqslant \aleph _{0}}$ (не исключается случай ${\displaystyle A=\varnothing }$ или ${\displaystyle B=\varnothing }$),

1. ${\displaystyle A<B}$ (то есть все элементы ${\displaystyle A}$ меньше всех элементов ${\displaystyle B}$),

1. не существует ${\displaystyle x\in X}$ такого, что ${\displaystyle A<x<B}$

При ${\displaystyle A=\varnothing }$ наличие счётной дырки ${\displaystyle (A,B)}$ означает, что в X нет наименьшего элемента, а при ${\displaystyle B=\varnothing }$ наличие счётной дырки ${\displaystyle (A,B)}$ означает, что в ${\displaystyle X}$ нет наибольшего элемента.

Линейно упорядоченное множество называется счётно насыщенным, если в нём нет счётных дырок.

Известно (Хаусдорф), что все счётно насыщенные линейно упорядоченные множества мощности ${\displaystyle \aleph _{1}}$ попарно изоморфны.