Соприкасающаяся кривая

Соприкасающаяся кривая — в дифференциальной геометрии кривая, принадлежащая определённому семейству и имеющая наивысший возможный порядок касания с другой кривой. Другими словами, если F является семейством гладких кривых, C является гладкой кривой (не обязательно принадлежащей F), а p представляет точку на C, то соприкасающаяся кривая из F в точке p является такой кривой семейства F, что она проходит через точку p и имеет наибольшее возможное число производных в точке p, равных производным C.[1][2]

Кривая C содержит точку P, в которой радиус кривизны равен r. В точке P к кривой проведена касательная. Соприкасающаяся окружность касается кривой C в точке P

Термин происходит от латинского слова "osculum" (поцелуй), поскольку в этом случае две кривые проходят более тесно друг к другу, чем при простом касании.[3]

Примеры

Ниже приведён ряд примеров соприкасающаяся кривых различных порядков.

  • Касательная к кривой C в точке p является соприкасающаяся кривой из семейства прямых. Касательная имеет общую с кривой C первую производную, то есть обладает касанием первого порядка.[1][2][4]
  • Соприкасающаяся окружность кривой C в точке p является соприкасающаяся кривой из семейства окружностей. Соприкасающаяся окружность обладает общими первой и второй производной (наклон и кривизна) с кривой C.[1][2][4]
  • Соприкасающаяся парабола кривой C в точке p является оскулирующей кривой из семейства парабол и имеет касание третьего порядка с данной кривой C.[2][4]
  • Соприкасающаяся коническое сечение кривой C в точке p является соприкасающейся кривой из семейства конических сечений и имеет касание четвёртого порядка с данной кривой C.[2][4]

Обобщения

Понятие соприкасающаяся кривой можно обобщить на пространства более высоких размерностей и для объектов, не являющихся кривыми в таких пространствах. Например, соприкасающаяся плоскость для пространственной кривой представляет собой плоскость, обладающую касанием второго порядка с данной кривой. В общем случае это наиболее высокий порядок.[5]

Примечания
  1. Rutter, J. W. (2000), Geometry of Curves, CRC Press, с. 174–175, ISBN 9781584881667, <https://books.google.com/books?id=YlLpO8Sv8RMC&pg=PA174>.
  2. Williamson, Benjamin (1912), An elementary treatise on the differential calculus: containing the theory of plane curves, with numerous examples, Longmans, Green, с. 309, <https://books.google.com/books?id=7ZlUAAAAYAAJ&pg=PA309>.
  3. Max, Black (1954–1955), Metaphor, Proceedings of the Aristotelian Society, N.S. Т. 55: 273–294. Reprinted in Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor, University of Minnesota Press, с. 63–82, ISBN 9780816657971. P. 69: "Osculating curves don't kiss for long, and quickly revert to a more prosaic mathematical contact."
  4. Taylor, James Morford (1898), Elements of the Differential and Integral Calculus: With Examples and Applications, Ginn & Company, с. 109–110, <https://books.google.com/books?id=di0AAAAAYAAJ&pg=PA109>.
  5. Kreyszig, Erwin (1991), Differential Geometry, vol. 11, Toronto University Mathematical Expositions, Courier Dover Publications, с. 32–33, ISBN 9780486667218, <https://books.google.com/books?id=P73DrhE9F0QC&pg=PA32>.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.