Скобка Айверсона

Скобка Айверсона — функция, возвращающая 1 для истинного высказывания, и 0, если аргумент ложный:

${\displaystyle [\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{если }}P{\text{ истинно}}\\0,&{\text{если }}P{\text{ ложно}}\end{cases}}}$

Нотация введена Кеннетом Айверсоном для языка программирования APL, и оказалась очень удобным математическим обозначением, например, с ним можно лаконично определить:

• символ Кронекера: ${\displaystyle \delta _{ij}=[\,i=j\,]}$,
• индикаторную функцию: ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[\,x\in A\,]}$,
• функцию Хевисайда: ${\displaystyle \theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]}$,
• функцию знака числа: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[\,x>0\,]-[\,x<0\,]}$.

Также нотация удобна при обращении с суммами, поскольку позволяет выражать их без ограничений на индекс суммирования, например:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]}$,

то есть индекс ${\displaystyle k}$ пробегает всё множество ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел, и формально суммируется бесконечное число слагаемых, но лишь конечное число их отлично от нуля.

Пример вычисления с использованием нотации Айверсона суммы ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}}$ для последовательности ${\displaystyle \{a_{i}\}}$:

${\displaystyle [\,i<j\,]+[\,i=j\,]+[\,i>j\,]=1}$,

${\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}}$,

${\displaystyle S+\sum \limits _{i}a_{i}^{2}+S={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}$,

а так как для правой части:

${\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}$,

то:

${\displaystyle S=\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}={\frac {1}{2}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$.