Скалярное ранжирование

Аддитивная

${\displaystyle F_{1}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})},}$

где ${\displaystyle r}$ — количество частных критериев; ${\displaystyle w_{i}}$ — коэффициент важности (вес) частного критерия; ${\displaystyle f_{i}(x)}$ — функция полезности частного критерия.

Обычно веса нормируют: ${\displaystyle w_{i}\in [0,1].}$

Мультипликативная

${\displaystyle F_{2}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\prod \limits _{i=1}^{r}{\left[{f_{i}({\vec {x}})}\right]}^{w_{i}}.}$

${\displaystyle F_{3}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\beta \cdot \sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})}+(1-\beta )\cdot \prod \limits _{i=1}^{r}{[f_{i}({\vec {x}})]}^{w_{i}}.}$

Каноническая аддитивно-мультипликативная

Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

где ${\displaystyle \beta }$ — адаптационный параметр ${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1.}$

• Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

${\displaystyle F_{4}({\vec {f}}({\vec {x}}))=a\cdot \sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})}+b\cdot \prod \limits _{i=1}^{r}{[f_{i}^{}({\vec {x}})]\,^{w_{i}}+\;}c\cdot \prod \limits _{i=1}^{r}{[f_{i}^{}({\vec {x}})]\,^{1/w_{i}}},}$

где ${\displaystyle a,\;b,\;c}$ — дополнительные параметры, ${\displaystyle a+b+c=1;w_{i}\neq 0,i={\overline {1,r}}.}$

На основе ряда Винера

Модификация функции на основе ряда Винера

(сложность определяется степенью полинома)

${\displaystyle F_{5}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}\cdot f_{i}({\vec {x}})}+\sum \limits _{i=1}^{r}{\sum \limits _{j=i}^{r}{}w_{ij}\cdot f_{i}({\vec {x}})\cdot f_{j}({\vec {x}})}+...,}$

где ${\displaystyle w_{ij}}$ — весовые коэффициенты произведения частных критериев ${\displaystyle f_{i}({\vec {x}})\cdot f_{j}({\vec {x}}),i,j={\overline {1,\;{\rm {r}}}}.}$

• Модификация аддитивно-мультипликативной, построенной на основе ряда Винера

(добавлены члены с дробными степенями и отсутствуют произведения несовпадающих частных критериев)

${\displaystyle F_{6}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})}+\sum \limits _{j=2}^{u}{\sum \limits _{i=1}^{r}{\{w_{i+r(2j-3)}[f_{i}^{}({\vec {x}})]^{g}}}+w_{i+r(2j-2)}[f_{i}^{}({\vec {x}})]^{1/g}\},}$

где ${\displaystyle u}$ — степень базового полинома; ${\displaystyle g>1}$ — дополнительный параметр, определяющий характер зависимости.

Показательная

${\displaystyle F_{7}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{(1-e^{-w'_{i}f_{i}({\vec {x}})})},}$

где ${\displaystyle w'_{i}=1-w_{i},i={\overline {1,r}}}$ — весовые коэффициенты частных критериев, ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{r}{w'_{i}}=1.}$

Энтропийная

${\displaystyle F_{8}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}}\cdot f_{i}({\vec {x}})^{w_{i}}.}$