Симметризация Штайнера

Симметризация Штайнера — построение определённого типа, сопоставляющее произвольной фигуре фигуру с зеркальной симметрией. Это построение применяется при решении изопериметрической задачи, предложенном Якобом Штайнером в 1838.

Симметризация Штайнера

На основе симметризации Штайнера были построены и другие симметризации, которые используются в схожих задачах.

Определение

Пусть есть гиперплоскость и — данная фигура в .

Введём ортогональную систему координат, в которой описывается уравнением . Для каждой точки пусть обозначает длину пересечения перпендикуляра, проведённого к через , с множеством . Далее проведём через отрезок длины с серединой в , перпендикулярный к . Объединение таких отрезков есть симметризация Штайнера относительно .

Свойства

Случай равенства периметров в симметризации Штайнера
  • Объём совпадает с объёмом .
  • Площадь поверхности не превосходит площади поверхности .
    • Если выпуклое тело, то равенство площадей поверхностей и достигается только в случае если зеркально симметрична относительно гиперплоскости параллельной плоскости симметризации.
    • В общем случае равенство может достигаться не только для зеркально симметричных , например равенство достигается для плоских фигур составленных из двух прямоугольников с основаниями параллельными прямой симметризации.
  • Если выпукла, то тоже верно и для .
  • Симметризация Штайнера не увеличивает расстояние по Хаусдорфу между фигурами, то есть
где и — произвольные фигуры, и — их симметризации относительно одной и той же гиперплоскости, а метрика Хаусдорфа.
  • Если , то .

Вариации и обобщения

Круговая симметризация
  • Симметризация Пойа (круговая).
  • Осевая симметризация — аналогична симметризации Штайнера, но даёт фигуру, инвариантную относительно поворотов вокруг данной прямой.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.