Сизигия (алгебра)

Сизигия (от др.-греч. σύ-ζῠγος, «сопряжение, соединение») — соотношение между порождающими модуля М. Набор всех таких соотношений называют «первым модулем сизигий» M. Более строго модуль сизигий определяется как ядро эпиморфизма из свободного модуля в модуль M. Соотношения между порождающими первого модуля сизигий называют «второй сизигией» М, и набор всех таких соотношений называют «вторым модулем сизигий M». Продолжая таким образом, мы получаем n-ный модуль сизигий М, беря набор всех соотношений между порождающими (n − 1)-го модуля сизигий М.

Иначе модуль сизигий можно определить при помощи свободной (или проективной) резольвенты. Если есть свободная резольвента

${\displaystyle \dots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0}$ модуля ${\displaystyle M}$,

то образ гомоморфизма ${\displaystyle F_{n}\to F_{n-1}}$ является ${\displaystyle n}$-ым модулем сизигий, который обозначается ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$. ${\displaystyle n}$-ый модуль сизигий ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$ зависит от выбора свободной резольвенты, но для любых двух свободных резольвент соответствующие модули сизигий ${\displaystyle \Omega ^{n}(M),{\tilde {\Omega }}^{n}(M)}$ стабильно изоморфны. То есть существуют такие свободные модули ${\displaystyle F,F'}$ такие, что ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)\oplus F\cong {\tilde {\Omega }}^{n}(M)\oplus F'.}$