Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции и определены и непрерывны в некоторой области .

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции , т.е. определяются уравнением при всевозможных значениях произвольной постоянной .

Если в области выполнено условие , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения как неявная функция . Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения (1).

Если рассматриваемая область односвязна, а производные также непрерывны в , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция в называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то есть для некоторой функции . Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

(область по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде или , но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1)

(2)

(3)

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*)

Подставим в (3).2:

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

  • Решения уравнения с разделяющимися переменными
    • Решения уравнения являются решениями (3).
    • Если область выбрана так, что , то разделив на получим уравнение с разделёнными переменными

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку , имеет вид:

Пример дифференциального уравнения

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.