Проекция Ван дер Гринтена

Проекция Ван дер Гринтена — компромиссная картографическая проекция, не являющаяся ни равновеликой, ни равноугольной. Она проектирует поверхность земли в круг, максимальные искажения возникают в районах полюсов. Проекция была предложена Альфонсом ван дер Гринтеном в 1904 году. Получила известность, когда Национальное географическое общество в 1922 году приняло её в качестве стандартной карты мира. В этом качестве проекция существовала до 1988 года[1].

Проекция Ван дер Гринтена для земного шара

Проекция выражается следующими формулами[2]

${\displaystyle x={\frac {\pm \pi \left(A\left(G-P^{2}\right)+{\sqrt {A^{2}\left(G-P^{2}\right)^{2}-\left(P^{2}+A^{2}\right)\left(G^{2}-P^{2}\right)}}\right)}{P^{2}+A^{2}}}\,;}$

${\displaystyle y={\frac {\pm \pi \left(PQ-A{\sqrt {\left(A^{2}+1\right)\left(P^{2}+A^{2}\right)-Q^{2}}}\right)}{P^{2}+A^{2}}},}$

где ${\displaystyle x}$ имеет тот же знак, что of ${\displaystyle \lambda -\lambda _{0}}$, а ${\displaystyle y}$ — тот же, что ${\displaystyle \phi }$ и

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\pi }{\lambda -\lambda _{0}}}-{\frac {\lambda -\lambda _{0}}{\pi }}\right|;}$

${\displaystyle G={\frac {\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta -1}};}$

${\displaystyle P=G\left({\frac {2}{\sin \theta }}-1\right);}$

${\displaystyle \theta =\arcsin \left|{\frac {2\phi }{\pi }}\right|;}$

${\displaystyle Q=A^{2}+G\,.}$

Если ${\displaystyle \phi =0}$, то

${\displaystyle x=\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,;}$

${\displaystyle y=0\,.}$

Если ${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}$ или ${\displaystyle \phi =\pm \pi /2}$, то

${\displaystyle x=0\,;}$

${\displaystyle y=\pm \pi \tan {\theta /2}.}$

Во всех формулах ${\displaystyle \phi }$ — широта, ${\displaystyle \lambda }$ — долгота, ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — центральный меридиан проекции.